уравнение изход низ

Помислете дължина низ л на

String ще се нарича тънък опъната еластична нишка.

При изграждането на математически модел на вибриращи низ ще се спрем на малки вибрации, срещащи се в една и съща равнина. Нека покой низ е разположен по оста Ox в интервала [0, L] и във всяка точка на колебание се движи перпендикулярно на оста (напречно люлеене). След всяко отклонение на низ във всеки момент от време е функция на U U (х, у) (вж. Фигура 2).

Да приемем, че напрежението е толкова голямо, че силата на тежестта и устойчивостта на огъване може да се пренебрегне. В допълнение, поради незначителни вибрациите ще бъдат пренебрегнати и по-високи стойности ред е малък в сравнение с производно UX.

Ние избираме една малка част низ (вж. Фигура 3) и да обмислят силите, действащи върху него. Тъй като низ не се съпротивлява на огъване, неговото напрежение е насочена към допирателна към низа на х. Освен това, можем да предположим, стойността на силата на опън постоянно в съответствие с нашите предположения. В действителност, дължината на всяка част от низ

Ux 2 може да бъде пренебрегната). Тъй като тя е била последователна, в съответствие със закона на Хук.

нека # 961; (X) - плътността на линеен в точка х. и # 947; (X т.) - плътността на външни сили, действащи върху низ в момент, и насочена перпендикулярно Ox.

Резултантната сила действа върху секцията низ [х. х + # 8710; X] в посока, перпендикулярна на говедото на ос. е (вж. фиг. 3)

.

В тази формула, произтичащи взема предвид, че малките трептения

Според втория закон на Нютон продукта на маса и ускорение, равно на силата, действаща MW = F. където w = Ът. следователно

Разделяйки двете страни от δx δx и се отправи към нула:

Това уравнение се нарича уравнение на принудени трептения на низ. Ако низът е хомогенен, т.е. # 961; (X) = конст. след това уравнение (3) обикновено е в писмена форма

Ът = 2 Uxx + е (х. Т), където 2 = T 0 / # 961; ; е (х. т) = # 947; (X. T) / # 961; ,

В случая, когато низ не бъде разгледано от външни сили, ние получаваме уравнението на свободното трептене на низа

Уравнения (3) и (4) са едномерни вълнови уравнения (съответно, хетерогенни и хомогенни).

Wave тези уравнения се наричат ​​защото те описват разпространението на слаби смущения в еластична среда (т.е. механични вибрации с малки амплитуди), която в областта на физиката се нарича вълни. Wave уравнения възникват и проблеми на електрически трептения в хидродинамиката и акустиката в теорията на еластичността, изучаването на електромагнитните полета.

Първоначалните условия и гранични условия.

Диференциални уравнения с частични производни, общо казано, имат безкраен брой решения. За да изберете от тази група е единственото решение, което да съответства на действителното физическо процеса (например вибрациите на струните), е необходимо да се определят някои допълнителни условия. На теория, частни диференциални уравнения, както и в обикновени диференциални уравнения, определящи условията, наречена началните и граничните (гранични) условия. Първоначалните условия в математическата физика съответстват на състоянието на физически процес на първоначално време, което обикновено се приема като т = 0. Резултатът е проблем Коши. Все пак, има някои разлики. Първо, първоначалните условия са определени за време-зависима уравнения, т.е. тези уравнения, които описват преходно (време-зависима) процеси. Тези уравнения са, например, уравнение вълна и уравнението на топлинна проводимост. На второ място, проблемът Коши за частни диференциални уравнения има уникално решение, само когато в уравнението се смята за целесъобразно или на цялата линия или върху цялата равнина, или в цялото пространство. Например, тя може да бъде проблем на колебание на безкраен низ или разпространението на топлина в един безкраен прът. На практика такива проблеми идват, когато има много дълъг низ, или много дълго пръчка и се интересуват от процесите, които протичат далеч от краищата, и влиянието на всички пренебрегвани. Ако сте приели, да речем, един дълъг кабел и леко го разклатете в средата, а след това ще продължи до левия и десния вълните. Картината става изкривена само когато вълните достигат до краищата на телта и след размисъл, се върна. Следователно, без да се отчита влиянието на всички, ние по този начин няма да се вземат под внимание влиянието на отразените вълни.

За вълновото уравнение Ът = а2 Uxx зададете два начални условия U | т = 0 = # 966; (X), Ut | т = 0 = # 968; (X). Понякога те са написани по различен начин: U (х 0.) = # 966; (X), Ут (х. 0) = # 968; (X). Първото условие определя първоначалната физическата форма на низ (началните точки на огъване стринга), и второто условие - началната скорост на точките за низ. В случай на Ът = уравнение 2 вълна # 916; U на самолета или в пространството са дадени същите две начални условия, само функциите # 966; и # 968; , съответно, ще зависи от два или три променливи.

Ако размерът на низа или прът не е много голяма, и влиянието на всички не могат да бъдат пренебрегвани, в тези случаи, някои от първоначалните условия не гарантират уникалността на решението. След това е необходимо да се определят условия по краищата. Те се наричат ​​гранични условия или гранични условия. За уравнението на низ вибрации често поставя условия U | х = 0 = 0, U | х = L = 0. В противен случай, те се записват и друга кука: (. л т) U (0, т) = 0, U = 0. Тези условия означава физически че краищата на низ са фиксирани (т.е. деформация при х = 0 и х = л по всяко време, равно на нула). Възможно е да се определят други условия в краищата на низ, например, Ux | х = 0 = 0. Ux | х = L = 0. Тези условия възникнат следния проблем.

Нека sruny краища се движат по протежение на вертикална водач без триене (вж. Фигура 4).

Тъй като вертикални сили, действащи върху левия и десния край на низ, са дефинира изрази T 0 Ux (О. т) и Т 0 Ux (л, т) (виж фиг. 2), записаното състояние горе означава, че краищата на низ не са има никаква власт (което е защо такива условия се наричат ​​също условията на свободните краища).

Както вече беше посочено, уравнение вълна Ът на = 2 Uxx описва не само вибрациите на низ, но други процеси на вълната, например, надлъжните вибрации на пружината, надлъжните вибрациите на пръчка, стрела усукване трептения. В тези проблеми, има гранични условия и други видове. Детайли такива проблеми, ние няма да се научат. Въпреки това, основните видове гранични условия. Обикновено считат три вида:

Тези условия са физически означава, че краищата са настроени режима на трептения.

Тези условия съответстват на това, което е в края на дадена сила.

Тези условия съответстват на еластичната фиксиран край.

Граничните условия (5), (6) и (7) се наричат ​​хомогенна ако дясната страна на G1 (т) и g2 (Т) е еднакво равни на нула за всички стойности на тон. Ако най-малко една от функциите в десните страни не са равни на нула, а след това на граничните условия се наричат ​​смесени.

По същия начин, граничните условия са формулирани в случай на три или четири променливи, при условие, че един от тези променливи - време. Т ranitsey в тези случаи ще бъде или затворена крива T очертаващ определен равна площ, или затворена повърхност # 937;, очертаващ област в пространството. Съответно промяната и производната на функцията, се появява в граничните условия на втори и трети вид. Това ще бъде нормално производно D п на кривата в равнината или на повърхността # 937; в пространството, и обикновено се счита за нормално, външно областта (виж фиг. 5).

Например, граничното условие (униформа) от първи вид в равнината може да се запише като U | # 915; = О, в пространството U | # 937; = 0. В граничното условие на втория вид на самолета е дадено, и ">. Разбира се, физическия смисъл на тези условия са различни за различните задачи.

В създаването на началните и граничните условия, възниква проблемът за намиране на решения на диференциалното уравнение на udoletvoryaet уточни началните и граничните (ръба) условия. За уравнението на вълна (3) или (4) първоначалните условия U (х, 0) = # 966; (х), Ут (х, 0) = # 968; (х) по отношение на първото условие вид граница (5), задачата се нарича първият проблем първоначалната стойност за уравнението на вълната. Ако вместо от първи вид гранични условия се определят условията за втория тип (6) или от трети вид (7), задачата ще се нарича съответно втори и трети проблем първоначалната стойност. Ако граничните условия върху различни части на границата са от различни видове, такива проблеми първоначална стойност се наричат ​​смесени.