Три признаци на подобни триъгълници

Теорема 1. два триъгълника са подобни, ако два ъгъла от един триъгълник са равни на два ъгъла от друг.

Да предположим, че в триъгълници ABC и A'B'C ∠A = ∠A "∠V = ∠B" (в тези триъгълници върховете съответно равни ъгли често означени със същите букви).

Докажете, че \ (\ Delta \) ABC \ (\ СИМ \) \ (\ Delta \) A'B'C (фиг. 367).

На първо място, ние отбелязваме, че равнопоставеността на двата ъгъла на данните от триъгълници, че третата и ъгли са равни, така че. Д. ∠C = ∠S ".

Отлагане от връх V, например, от страната AB ABC триъгълник BM сегмент, равен на A'B сегмент. От точка М се тегли чертата MN || AU. Имаме \ (\ Delta \) MBN, която е подобна на \ (\ Delta \) ABC. Но \ (\ Delta \) MBN = \ (\ Delta \) A'B'C ", както ∠V = ∠V" от хипотеза; страна MB = A'B "от строителство; ∠BMN = ∠A "(∠BMN и ∠A 'са поотделно същия ∠A).

Ако \ (\ Delta \) MBN \ (\ СИМ \) \ (\ Delta \) AVS, на \ (\ Delta \) A'B'C '\ (\ СИМ \) \ (\ Delta \) ABC. Тази теорема изразява първия знак на сходство на триъгълници.

Изследване. 1. равностранни триъгълници са сходни.

2. равнобедрен триъгълник са подобни, ако те са на равна ъгъл в горната част или на дъното.

3. Двама правоъгълни триъгълника са подобни, ако тя има Равно малък ъгъл.

4. равнобедрен правоъгълен триъгълник са сходни.

Теорема 2. Два триъгълника са подобни, ако две страни на един триъгълник са пропорционални на две страни на друг триъгълник и ъглите, които се намират между тях са равни.

Нека триъгълник ABC и A'B'C '\ (\ Фрак = \ Фрак \) и ∠V = ∠V "

Ние трябва да се докаже, че \ (\ Delta \) ABC \ (\ СИМ \) \ (\ Delta \) A'B'C "(фиг. 368).

Да докаже, отложено, например, от страна AB ABC триъгълник от върха в BM сегмент равен на A'B сегмент ". Чрез точка М се тегли чертата MN || AU. Получената MBN триъгълника подобен на триъгълника ABC.

Ще докажем, че \ (\ Delta \) MBN = \ (\ Delta \) A'B'C ". В тези триъгълници ∠V = ∠V "по хипотеза, MB = A'B" от строителството. За да се гарантира равенство на страните и BN B'C, композира част AB / MB = BC / BN (това от паралелно AC и MN) и я сравнете с дела на който е даден в теоремата: \ (\ Фрак = \ Фрак \) , Пропорциите на тези две има три равноправни членове, следователно, са четвърти и техните членове,

т. е. B'C '= BN. Това означава, че триъгълници и MBN A'B'C ".

Тъй \ (\ Delta \) MBN \ (\ SIM \) \ (\ Delta \) A'B'C ', след това, следователно, \ (\ Delta \) A'B'C' \ (\ SIM \ ) \ (\ Delta \) ABC.

Тази теорема изразява втория знак на сходство на триъгълници.

Следствие. Правоъгълен триъгълник са подобни, ако краката на един от тях пропорционално на крака на друг.

Теорема 3. Два триъгълника са подобни, ако трите страни на един триъгълник са пропорционални на трите страни на друг триъгълник.

Нека триъгълник ABC и A'B'C '\ (\ Фрак = \ Фрак = \ Фрак \) (фиг. 369).

Ние трябва да се докаже, че \ (\ Delta \) ABC \ (\ СИМ \) \ (\ Delta \) A'B'C "

За да се докаже отложи, от страна AB на триъгълника ABC от сегмента на връх B BM = 'B'. От точка М се тегли чертата MN || AU. Получената MBN триъгълника подобен на триъгълника ABC. Ето защо, \ (\ Фрак = \ Фрак = \ Фрак \).

Ще докажем, че \ (\ Delta \) MBN = \ (\ Delta \) A'B'C ". За да се докаже сравняване на две пропорции

\ (\ Frac = \ Frac \) и \ (\ Frac = \ Frac \).
В тези пропорции има три равноправни членове, следователно, са четвърти и техните членове, т.е. BN = B'C.

Нека сравним още две част: \ (\ Фрак = \ Фрак \) и \ (\ Фрак = \ Фрак \). Тези пропорции също има три равни членове, следователно, са равни членове на четвъртия си, и така нататък. Е. MN = а'с.

Оказа се, че трите партии \ (\ Delta \) БММ са три страни \ (\ Delta \) A'B'C ", а именно:

MB = A'B ", BN = B'C и MN = а'с".

Следователно \ (\ Delta \) MBN = \ (\ Delta \) A'B'C "и \ (\ Delta \) ABC \ (\ SIM \) \ (\ Delta \) A'B'C.

Тази теорема изразява третия знак на сходството на триъгълници.