Тема 14_ekstremumy функция на няколко променливи

EXTREMA функция на няколко променливи

Необходимо атрибут ekstemuma.

Определение: точка

нарича екстремум функция Z = F (х, у), ако стойността на функцията в този момент съответно по-голямо или по-малко от стойностите, поети от него в съседство на точка P0 на.

Установяване на желаната функция или състоянието, за които функцията достига точка

крайност.

Необходимо критерий за екстремум:

Ако функция Z = F (х, у) е диференцируема в х = x0. у = y0 и достигне екстремум, след това в този момент е равно на нула негови частични производни:

Да приемем, че Z = F (х, у) е

крайност. Според определението екстремум функция Z = F (х, у) на у = y0 постоянна като функция на х достигне екстремум, когато х = x0. Предпоставка за това е изчезване производно

По подобен начин, функция Z = F (х, у) при постоянна х = x0. като функция на база. Тя достига екстремум в у = Y0. така

QED.

точка

, координира който изчезва двете частични производни с функция Z = F (х, у). Това се нарича неподвижна точка на функцията Z = F (х, у).

Уравнението на допирателната равнина на повърхността Z = F (х, у)

за стационарна точка

получава vidz = z0.

За стационарните точки на функция Z = F (х, у) трябва двете равни на нула си частна производна

II.Dostatochnye условия крайност. Нека точката

неподвижна точка на функцията Z = F (х, у). Ние се изчисли стойността на този етап на втората частична производни с функция Z:

ако

, След F функция (х, у) има екстремум в точка P0 на:

ако

, не toP0 точка екстремум.

ако

, тогава не заключение за характера на неподвижната точка не може да бъде направено, и са необходими повече изследвания.

III.Pravila за намиране крайности.

За да намерите екстремални точки и крайни стойности на функция Z = F (х, у) в предварително определена област, е необходимо:

1) се равнява на частните производни на нула

и да намерят истинските корени на системата от две уравнения. Всяка двойка от корени определя фиксирана точка на функцията. Сред всички стационарни точки, които трябва да се вземат тези, които са в дадена област;

2), за да се изчисли стойността на експресия

,

където във всяка фиксирана точка.

а) ако

, След това ние имаме изключителна стойност: максимална Pria<0 (C<0),

минимум при А> 0 (C> 0).

б) ако

, тогава няма екстремум;

в) ако

, тя изисква по-нататъшно разследване;

3) изчисляване на екстремни стойности, замествайки с експресията на координатите на функцията на екстремум точки.

IV.Naibolshee и минимални стойности на функцията.

Да предположим, че искате да намерите максималните и минималните стойности на функция Z = F (х, у) в определен регион, разглеждани заедно с нейните граници.

Ако някоя от тези стойности се постига в рамките на функцията зона, очевидно е крайност. Но това може да се случи, че максималната или минималната стойност на функцията е взето в точка, разположена на границата.

Това следва от това правило:

за да намерите максималните и минималните стойности на функция Z = F (х, у) в затворено региона, е необходимо да се намери всички максимуми или минимуми на функция, за да се постигне в рамките на тази област, както и най-големите или най-малките стойности на функцията в границите на областта. Най-великият от всички тези цифри е желаната стойност на най-високата и най-ниската - от най-ниските.

Нека функция Z = F (х, у) и на линията L на равнина 0xy. Предизвикателството е да се намери на линия L на точка Р (х, у). където стойността на функцията Z = F (х, у) е най-високата или най-нисък в сравнение със стойностите на тази функция в линия L. Тези точки се наричат ​​точки P ограничени функция оптимизация Z = F (х, у) на линията L. За разлика нормалната точка екстремалната стойност на функцията в точка условно екстремум се сравняват със стойностите не функционира във всички точки на квартала, но само тези, които се намират на линията L.

Очевидно е, че конвенционалните точка на екстремум и точката е ограничен оптимизация за всяка една линия, минаваща през тази точка. Но условна точка екстремум не може да бъде конвенционален точка екстремум.

Ние намери екстремум точка условно функция Z = F (х, у) на линията дава с уравнението L.  (х, у) = 0. който се нарича уравнение на комуникация.

Ако връзката на уравнението може да се изрази изрично като у х. след това чрез заместване в уравнение Z = F (х, у). Получават Z като функция на една променлива:

Намирането на стойността на х. при които функцията достига екстремум, и след това определяне на ограничението уравнения съответните стойности на у. получаваме необходимите точки за условен екстремум.

Задача условно екстремум проблем се свежда до намиране на екстремум на функцията на една променлива, и ако ограничение уравнението се изчислява по параметрични уравнения:

Ако ограничение уравнението е по-сложно и не може да изразява ясно една променлива върху друго, проблемът с намирането на условен екстремум става все по-трудно.

Ние напиши общата производно с функция Z = F (х, у) от х

условни екстремум точките на общата производно трябва да бъде нула. В допълнение, променливи, и трябва да отговарят на уравнението на ограничение. Следователно, проблемът се свежда до решаване на система от две уравнения за двете неизвестни:

.

Превръщаме първото уравнение на формата

където  - реално число. След това стигаме до трите уравнения

за неизвестно х. у. .

Уравнения (1) по-лесно да се запомни с помощта на следните правила:

за да намерите точки, които могат да бъдат условни екстремум точки на функция Z = F (х, у) в комуникация уравнение  (х, у) = 0. Трябва да образуват допълнителна функция

където  = конст и създадени уравнения за намиране на екстремните точки на тази функция.

Горният метод за решаване на проблеми се нарича метод на Лагранж множители.

Системата (1) се предвижда само необходимите условия за екстремум. Не всеки чифт от х и у (1) е ограничено точка оптимизация.