Проблемът на шах кон
Начало | За нас | обратна връзка
Верига Hamiltonian графика е неговата проста схема, която минава през всеки връх на графиката точно веднъж. Cycle Count, минаваща през всеки връх се нарича Hamiltonian цикъл. Той нарече Hamiltonian графика, ако има Hamiltonian цикъл.
Тези имена на вериги и цикли, свързани с името на Уилям Хамилтън (Hamilton W.), който през 1859 г. предложи следния пъзел игра, е необходимо преминаване от завои от един връх в друг връх на додекаедър на ръба, за да заобиколят всички 20 върховете веднъж и се върне към първоначалната връх.
Имайте предвид, че е изобретил много други забавни и полезни задачи, свързани с търсенето на Hamiltonian цикли. Формулиране на две от тях.
- (Проблемът за банкета), компанията на няколко души, трябва да седнат на кръглата маса по такъв начин, че от двете страни на всеки му бяха приятели. Очевидно е, че за да се реши този проблем, трябва да се намери Hamiltonian цикъл в компанията графика запознанства.
- (Проблемът на шах кон.) Възможно ли е, като се започне от произволно поле на шахматната дъска, за заобикаляне на коня последователно всички 64 нива веднъж и да се върнете към оригиналния полето? (Да се обсъжда по-долу).
Следната теоремата оказа Pausch (Posa L.), дава достатъчно условие за ненасочена графика е Hamiltonian. Това обобщава получените преди руда (руда О.) и Дирак (Дирак G.A.) резултатите, които са включени тук като следствие.
Нека G е р ≥ 3 върхове. Ако за всеки п. 1 ≤ N ≤ (р-1) / 2, броят на върховете с степен не превишава п. по-малко от п. и за нечетен брой степени р върховете (р-1) / 2 е не по-голяма от (р-1) / 2, тогава G - Hamiltonian графика.
Доказателство. Да предположим, че теоремата е лъжа, и нека G - максимум без Hamiltonian графика с р върхове, който отговаря на условията на теоремата. Това се вижда добре, че добавянето на всеки край на графиката като свойствата, посочени в теорема води до графиката, която е същата притежава тези свойства. По този начин, тъй като добавянето на G на произволна ръб води до Hamiltonian графика, всеки две несъседни върховете свързани чрез прост обхващаща (съдържащ всички върхове на графика на) верига.
Ние първи показват, че всеки връх, степента на което е не по-малко от (р-1) / 2, в непосредствена близост до всеки връх с по-голяма от степен (р-1) / 2. Да приемем (без загуба на общоприложимост), които ° С о 1 ≥ (р-1) / 2 и ° С VP ≥ р / 2, но връх V 1 и VP не са съседни. Тогава там е прост обхващаща верига срещу 1 срещу 2 ... вицепрезидент. свързване на V 1 и VP.
Освен това, тъй като п ≥ (р-1) / 2, след това р / 2 ≤ ° С VP ≤ р -1- п
От това следва, че ако ° С о ≥ р / 2 за всички V върхове. Г - Hamiltonian графиката. (Тук е формулиран под формата на Следствие 2.) С оглед на горното, всяка двойка от съседни върха на графиката G, т.е. G - пълна графика. Ние имаме противоречие, тъй като пълен граф е Hamiltonian за всички р ≤ 3.
По този начин, G - V е връх с ° С о
Като се има предвид достатъчно условие че не е необходимо. Cubic графика е показано на фигурата, Хамилтън, въпреки че е ясно, че той не отговаря на условията на теоремата. Въпреки това, условията на теоремата не може да се подобри, тъй като отслабването на новия им състояние няма да бъдат достатъчни за Hamiltonian графика.
Pausch ограничаване условия на теоремата, ние получаваме по-простите, но по-малко мощни достатъчни условия, установени от съответно Дирак и Ore:
Ако р ≥ 3 и ф ° С + ° С о р ≥ за всяка двойка U и V са не-съседни върха на G. тогава G - Hamiltonian графика.
Ако р> и 3 ° С о ≥ р / 2 за всеки връх на графиката срещу G. G - Hamiltonian графиката.
Пълната графика G (V. Е) винаги има Hamiltonian път.
Доказателство. Нека m = 1 ... 2 ап - път дължина р -1, където всички върхове в m различно. х - горната част на ∉ m. Ние показваме, че е възможно да се направи по пътя на формата
Да предположим, че няма такова цяло число к. сключен между 1 и стр. че
Ние имаме, следователно, в продължение на 1 ≤ ≤ к р:
Ако няма път, т = 0 ХА 1 ... ап. след това (а 1. х) ∈ E ⇒ (а 2. х) ∈ Е. (ар. х) ∈ Е. и път на топене = 1 ... ап х съществува, противно на предположението. По този начин, ние можем да стъпка по стъпка за изграждане на пътя съдържащ всички върховете на графиката. ♦
Забележка. Този резултат означава, че винаги е възможно да се поръча много играчи в турнира, така че всяка една от последните беше победител веднага след (освен ако, разбира се, нито една от срещите не завърши наравно).
Проблемът на шах кон
Ние представляват проблем за да се придвижва кон шахматната дъска, така че посещението всяка клетка точно веднъж. Този проблем интересуват много математиците, особено на Ойлер (Euler L.), де Moivre (де Moivres), Vandermonde (Vandermonde) и други.
Едно правило, което, както изглежда, е оправдано на практика, но на теория все още не е потвърдено, е следната: всеки път, когато отидем кон върнем там, където го заплашва най-малкият брой все още не е приет от клетките.
Друг начин е да се намери маршрут на полупансион, симетрична то и свързването на двата маршрута се дублира.
Верига Hamiltonian графика е неговата проста схема, която минава през всеки връх на графиката точно веднъж. Cycle Count, минаваща през всеки връх се нарича Hamiltonian цикъл. Той нарече Hamiltonian графика, ако има Hamiltonian цикъл.
Тези имена на вериги и цикли, свързани с името на Уилям Хамилтън (Hamilton W.), който през 1859 г. предложи следния пъзел игра, е необходимо преминаване от завои от един връх в друг връх на додекаедър на ръба, за да заобиколят всички 20 върховете веднъж и се върне към първоначалната връх.
Имайте предвид, че е изобретил много други забавни и полезни задачи, свързани с търсенето на Hamiltonian цикли. Формулиране на две от тях.
- (Проблемът за банкета), компанията на няколко души, трябва да седнат на кръглата маса по такъв начин, че от двете страни на всеки му бяха приятели. Очевидно е, че за да се реши този проблем, трябва да се намери Hamiltonian цикъл в компанията графика запознанства.
- (Проблемът на шах кон.) Възможно ли е, като се започне от произволно поле на шахматната дъска, за заобикаляне на коня последователно всички 64 нива веднъж и да се върнете към оригиналния полето? (Да се обсъжда по-долу).
Следната теоремата оказа Pausch (Posa L.), дава достатъчно условие за ненасочена графика е Hamiltonian. Това обобщава получените преди руда (руда О.) и Дирак (Дирак G.A.) резултатите, които са включени тук като следствие.
Нека G е р ≥ 3 върхове. Ако за всеки п. 1 ≤ N ≤ (р-1) / 2, броят на върховете с степен не превишава п. по-малко от п. и за нечетен брой степени р върховете (р-1) / 2 е не по-голяма от (р-1) / 2, тогава G - Hamiltonian графика.
Доказателство. Да предположим, че теоремата е лъжа, и нека G - максимум без Hamiltonian графика с р върхове, който отговаря на условията на теоремата. Това се вижда добре, че добавянето на всеки край на графиката като свойствата, посочени в теорема води до графиката, която е същата притежава тези свойства. По този начин, тъй като добавянето на G на произволна ръб води до Hamiltonian графика, всеки две несъседни върховете свързани чрез прост обхващаща (съдържащ всички върхове на графика на) верига.
Ние първи показват, че всеки връх, степента на което е не по-малко от (р-1) / 2, в непосредствена близост до всеки връх с по-голяма от степен (р-1) / 2. Да приемем (без загуба на общоприложимост), които ° С о 1 ≥ (р-1) / 2 и ° С VP ≥ р / 2, но връх V 1 и VP не са съседни. Тогава там е прост обхващаща верига срещу 1 срещу 2 ... вицепрезидент. свързване на V 1 и VP.
Освен това, тъй като п ≥ (р-1) / 2, след това р / 2 ≤ ° С VP ≤ р -1- п
От това следва, че ако ° С о ≥ р / 2 за всички V върхове. Г - Hamiltonian графиката. (Тук е формулиран под формата на Следствие 2.) С оглед на горното, всяка двойка от съседни върха на графиката G, т.е. G - пълна графика. Ние имаме противоречие, тъй като пълен граф е Hamiltonian за всички р ≤ 3.
По този начин, G - V е връх с ° С о
Като се има предвид достатъчно условие че не е необходимо. Cubic графика е показано на фигурата, Хамилтън, въпреки че е ясно, че той не отговаря на условията на теоремата. Въпреки това, условията на теоремата не може да се подобри, тъй като отслабването на новия им състояние няма да бъдат достатъчни за Hamiltonian графика.
Pausch ограничаване условия на теоремата, ние получаваме по-простите, но по-малко мощни достатъчни условия, установени от съответно Дирак и Ore:
Ако р ≥ 3 и ф ° С + ° С о р ≥ за всяка двойка U и V са не-съседни върха на G. тогава G - Hamiltonian графика.
Ако р> и 3 ° С о ≥ р / 2 за всеки връх на графиката срещу G. G - Hamiltonian графиката.
Пълната графика G (V. Е) винаги има Hamiltonian път.
Доказателство. Нека m = 1 ... 2 ап - път дължина р -1, където всички върхове в m различно. х - горната част на ∉ m. Ние показваме, че е възможно да се направи по пътя на формата
Да предположим, че няма такова цяло число к. сключен между 1 и стр. че
Ние имаме, следователно, в продължение на 1 ≤ ≤ к р:
Ако няма път, т = 0 ХА 1 ... ап. след това (а 1. х) ∈ E ⇒ (а 2. х) ∈ Е. (ар. х) ∈ Е. и път на топене = 1 ... ап х съществува, противно на предположението. По този начин, ние можем да стъпка по стъпка за изграждане на пътя съдържащ всички върховете на графиката. ♦
Забележка. Този резултат означава, че винаги е възможно да се поръча много играчи в турнира, така че всяка една от последните беше победител веднага след (освен ако, разбира се, нито една от срещите не завърши наравно).