Крайностите, най-високите и най-ниските стойности на функциите

19. Местната екстремум. Необходимо условие за съществуването на екстремалната

Говори се, че функцията има vovnutrenneytochke oblastiDlokalny максимум (минимум), ако съществува okrestnosttochki

, за всяка точкакоито неравенството

Ако функцията е с точка

локален максимум или локален минимум, тогава ние казваме, че тя е в тази tochkelokalny крайна (или просто изключителна стойност).

Теорема (необходимо условие за екстремум съществуване). Ако диференцируема funktsiyadostigaet екстремум в точката, всяка от първи ред частна производна на функцията

в този момент е нула.

Точките, в които всички първи ред частични производни изчезват стационарни точки се наричат ​​функция. Координатите на тези точки могат да бъдат намерени чрез решаване на система от

уравнения

.

Необходимо условие за наличието на екстремум в случай на диференцируема функция може да бъде формулирано накратко, както следва:

.

Има случаи, в които индивидуални точки някои частични производни имат безкраен стойност или не (а останалите са нула). Тези точки се наричат ​​критични точки на функцията. Тези точки също трябва да се разглежда като "подозрителна" на изключителна стойност като статична.

Тази функция на две променливи необходимо условие за екстремум, а именно частични производни са равни на нула (диференциална) в точката на екстремални е геометрична тълкуване: равнина, допирателна към повърхността

в точката на екстремални трябва да бъде успоредна на равнината.

20. достатъчни условия за съществуване на екстремум

Извършване на някакъв етап необходимите условия за съществуването на екстремалната не гарантира присъствието там на крайност. Като пример можем да вземем навсякъде диференцируема функция

. И двете негови частични производни на самата функция и изчезват в точката. Въпреки това, във всеки квартал на този въпрос е положителен (по-голяма) И отрицателни (по-малък) Стойностите на тази функция. Ето защо, в този момент, по дефиниция, се наблюдава до екстремум. Поради това е необходимо да се познават достатъчно условията, при които точката, подозрителни към екстремумът е екстремум на функцията.

Да разгледаме случая на функция на две променливи. Да предположим, че функцията

Това е определено, непрекъсната и има непрекъснати частични производни до втория ред в близост до точка, която е неподвижна точка на функцията, т.е. отговаря на условията,

,

.

Теорема (достатъчни условия за съществуване екстремум). Нека функцията

Тя отговаря на горните условия, а именно диференцируеми в квартал на фиксирана точкаи два пъти диференцируема в точката. След това, ако

, след това учи в функцията има локален екстремум,

тогава няма екстремум,

че е необходимо допълнително изследване.

В случай,

функциятапридостигне

локален максимум в

и

локален минимум в

.

Като цяло, достатъчен за функцията на съществуване в tochkelokalnogominimuma (максимум) yavlyaetsyapolozhitelnaya (отрицателно) на втория диференциален сигурност.

С други думи, е в сила следната.

Теорема. Ако tochkedlya функция

за който и да е не и двете нула

, след това в този момент imeetminimum на функция (analogichnomaksimum. Ако).

Пример 18.Nayti точка местно екстремум

Решение. Намираме частните производни на функцията и ги равнява на нула:

Решаването на тази система, ние откриваме две точки, свързани с възможното екстремум:

Намираме втори ред частични производни на тази функция:

Първият стационарна точка, като по този начин iPoetomu до този момент се нуждае от допълнително проучване. стойност на функцията

в този момент е нула:по-нататък,

Следователно, във всеки квартал на

функцияТова отнема стойности по-голям, и по-малки, и, следователно, на мястотофункция, по дефиниция, тя няма местен екстремум.

През втората фиксирана точка

следователно, следователно, катов точкатафункция има локален максимум:

.