Фурие метод (метод на разделяне на променливите) - studopediya

Разглеждане на метода на Фурие на пример на метод на смесените разтвори до проблема на топлопроводимост уравнение в случая на пространствено променлива.

Задача 1. Намерете решението на хомогенна уравнението

задоволяване на първоначалното състояние

и нула условия (хомогенна) гранични:

Същността на метода е да се търсят нетривиални решения на уравнението (1) отговаря на граничните условия (3), под формата на

Заместването (4) в (1) получаваме

От лявата страна на уравнението е функция на. и само от дясната страна. че равенството е възможно, ако те са равни на константа:

Следователно ние получаваме две обикновени диференциални уравнения:

и отговаря на условията. ,

По този начин, за да се определи функцията имаме собствена стойност проблема: намерят тези стойности на параметрите. в които има нетривиален решение на проблема

Помислете за три случая къде.

1. Да. Нека да се намери решение на диференциални уравнения.

. - две реални корени. Общият разтвор се прилага чрез

. Изискването на граничните условия, е:

Определящо на системата. следователно, когато има само незначителни решения.

2. Нека. Нека да се намери решение на диференциални уравнения.

. - множествена корен. Общият разтвор се прилага чрез

. Изискването на граничните условия, е:

Откъдето следва, че когато има само тривиални решения.

3. Да. Нека да се намери решение на диференциални уравнения.

. - две комплекс-конюгат корени. Общият разтвор се прилага чрез

. Изискването на граничните условия, е:

Системата има nontrivial решение, ако и само ако му детерминанта е нула или код. Ето защо. По този начин, нетривиални решения на проблема (7) е възможно само ако

От системата (*), ние получаваме и по този начин,

са eigenfunctions на уравнението на Sturm-Liouville (7).

Правилното функция се определя до постоянен фактор.

Ние сега се обръщат към решаването на уравнение (5). Когато тя е под формата

Ние да решим това уравнение чрез разделяне на променливите. където или

където - произволни константи. По този начин, в съответствие с (4) само функция

Удовлетворяват уравнение (1) и граничните условия (3).

Форма официалната серия (като сума от решенията)

и изискват функцията удовлетворява началните условия (2). получаваме

Полученият брой е разширяване на Фурие задължително серия в интервала. Коефициентите на тази серия са дадени от известните формули

По този начин, се определя като поредица от (8), коефициентите на които се определят чрез формули (9) функция е решение на проблема (1) - (3).

Намиране на решение на уравнението на нехомогенни топлина

задоволяване на първоначалното състояние

и нула условия (хомогенна) гранични:

Да предположим, че функцията е непрекъсната и има непрекъсната производно, и за всички състоянието.

Ще се търси (12) във формата - Разтворът на (10)

където - е решението на проблема

и функцията - е решението на проблема

Проблемът (15) - е задача 1 и разтворът е известна.

Да разгледаме проблема (14). Ние трябва да търси своето решение под формата на серия

в eigenfunctions съответните Sturm-Liouville (7)

Заместването (16) в диференциално уравнение на (14) \ да намерите производни:

В резултат на това, ние получаваме заместването

Разширяване на функцията в редовете на Фурие на Синиш

Към получения диференциални уравнения, е необходимо да се добави първоначалните условия на проблема (14):

Ние сме решаване на обикновен метод диференциално уравнение на Бернули.

Заместване на (17) в (16) води до получаване на разтвор на (14)

Функцията е разтвор на 2.

Намерете решението на уравнението нехомогенни

задоволяване на първоначалното състояние

и нехомогенни гранични условия:

Въвеждаме нова непозната функция. където

Функция ние се намери решение на уравнението

с началните условия

и граничните условия

а след това решението ще бъде намален до проблема 2.

За наличието на класическа решение на проблема 3, трябва да функционира. , Те са непрекъснато и трябва да договаря условията. ,

За функцията. непрекъсната в принципа на затворения участък държи на максималната стойност.

Теорема. Ако функцията. удовлетворява уравнението на топлопроводимостта на точки в района. максималните и минималните стойности на функцията са постигнати или в началния момент. или на границата точки и сегмента.

Максималната принцип предполага две теореми

Теорема. (Уникалност) Решение 3 в правоъгълник е уникален.

Теорема. Решение 3 е непрекъснато в зависимост от началните и граничните функции.

- задача (14), в която. , Разтворът е както следва: