Danko_vysshaya математика в Упражняване и zadachah_ch1 1980
Намираме средната уравнение BB тон; като 5 точки (- 2; -8) и В 1 (-2, 0) имат еднакви абсцисната Vin е успоредна на вертикалната средна ос. неговото уравнение
Уравнението на средната SS H.
89. Предвид връх на триъгълника: А (0, 1); В (6; 5) и С (12 1). Уравнението на височина триъгълник, съставен от точка В.
.. P д w п д формула (4) п е 5 намерите ъглов коефициент ръка AB:
В силата на състоянието на височина перпендикулярност наклон, изготвен от точка С е равно на -3/2. Уравнението на тази височина изглежда
п (х -12), или BX - \ - 2у -34 - 0 ° С.
са дадени 90. Страните на триъгълника: X - \ - SP - 7 = 0 (AV), О - Y -
• -2 = 0 (Британска Колумбия), 6x -f-8е / - 35 = 0 (АС). Да се намери дължината на надморската височина, изготвен от точка Б.
R е т н д. Ние определят координатите на точка Q. решаването на системата от уравнения
х + Zu - 7 = 0 и Ах-ил - 2 = 0, ние получаваме х = 1, у = 2, т.е. В (1; 2) ... Намираме BBI дължина височина като разстоянието от точка Б към линията AS:
91. Определяне на разстоянието между паралелни линии Zh-
R е т н д. Проблемът се свежда до определяне на разстоянието от произволна точка от един ред към друга линия. Ако приемем, че, например, в първото уравнение
94. Предвид уравнението на триъгълник ABC височини: х + # 2 = 0 9Х - Zu - 4 = 0 и координатите на връх А (2) 2. Напишете уравненията на страните на триъгълника.
R е с т н д е лесно да се види, че връх А не е на едно от предварително определени височини :. Неговите координати не отговарят на тези уравнения височини,
Нека 9л: - -4 ди = 0 е уравнението на височината BB х до х - \ - у 2 = 0 е уравнението на височина CCI. Ние се образува уравнението на Африканския съюз, като се има предвид, че като права линия, минаваща през точка А и перпендикулярна на височината на BBI. Тъй като височината на ъгъл BBI фактор е 3, страничната ъглова коефициента AC е -1/3, т. Е. К AC = -1/3. С помощта на уравнението на права линия, минаваща през дадена точка, и като активна ъглов коефициент, ние получаваме от двете страни уравнението AC:
2) или х + Zu - 8 = 0.
По същия начин, ние получаваме к вв = - 1. к AB = л и уравнението
nenie страна AB има формата
Решаването на уравнение заедно линии AB и BB З. и директен AC и CCI, намираме координатите на върховете на триъгълник B (2/3; 2/3) и P (-1, 3), остава приравняваме страна BC:
95. Създаване на уравнения от прави линии, минаващи през точка М (5, 1) и образуване с линията 2 - \ - Y - 4 = 0, ъгълът на п / 4 (Фигура 9.).
R е т н д. Нека наклон а е равна на желаната линия к. Ъглов предварително определен коефициент е директно 2 Тъй като ъгълът между тези линии е равно на п / 4, на
1-2 / е т. Е. 1 = 1- 2k
Решаването на всеки от получените уравнения, ние откриваме, к = -1/3 и к = 3. По този начин, уравнението на един от желания ред могат да бъдат написани като
и уравнението на другата права под формата
у - 1 = 3 (х-5), т.е. Zh- 14 у = 0 ...
96. Намерете реда принадлежност към молива 2 - \ - Zu - \ - L-
P е т н д. Координатите на точка М трябва да отговаря на уравнението на желаната линия, така че се да се определи уравнението
1 - 2 + 3 - 1 + 5 + I (1 + 8 - 6 + 1) = 0 или 10 + 15YA = 0, т.е., I = - .. 2/3.
Заместването на стойността на уравнението I лъч, ние получаваме уравнението на желания ред:
= 0, или 4-7t / -f-3 = 0.
97. Виж линия, която преминава през точката на пресичане на линиите Sx - 4 * / + 7 = 0 и BX - \ - 2у -> - 3 = 0 и успоредно на оста у.
R е с т н д. Директен принадлежи лъч
SX-4Y + 7 + Н (5Н | -2 * / + 3) = 0, т.е., (5 + 3) х + (- ..
Тъй като се изисква, успоредна на оста у, коефициентът на Y трябва да бъде нула: .. -4 + 2Н = 0, т.е., I = 2.
Остава да замени стойността намерени в уравнение I лъч, което води до получаване на желания уравнение х + 1 = 0.
са дадени 98. Страните на триъгълника: X - \ - 2y + б - 0 (AV), Jx - \ - Y - \ - + 1 = 0 (Британска Колумбия) и х - \ - у + 7 = 0 (АС). Напиши надморската височина на уравнение ^ триъгълник, съставен към страната AC.
R е т н д. Височина на елемент лъч
Наклонът е равна на линия лъч - (Wl + 1) / (2 + I); тъй като наклонът на линията AC коефициент е равен - 1 ъгловата скорост на желаната височина е равна на 1 и да се определи, получаване на уравнение - (1- | -ZYA) / (2 + р) = 1 + 1. Това ЗА. + 2 | -А. = 0 ,. Е. X = -3/4. Заместването на стойността на уравнение съм лъч, ние получаваме необходимата уравнение на височина:
- 1) = 0, т.е. 5х, 5Y-17 = 0.
99. Предвид връх на триъгълника ABC: A (0, 2), В (7; 3) и С (1 6).
= Определили като добре.
страна на триъгълника 100. Дейна: х + у - 6 = 0, Zh-
Вх = 0 и - 14 Zu- = 0. Създаване уравнения височини си.
101. Напишете уравненията на ъглополовящи на ъглите между редовете
102. Dana-връх на триъгълника: А (0, 0), В (- 1 -3), и G (-5, -1). Напишете уравненията на линии, преминаващи през върховете на триъгълника и успоредна на своите страни.
103. Напишете уравненията на линии, преминаващи през точката
M (2; 7) и образуване с линията AB, където А (- 1, 7) и В (8; -2), ъглите 45 °.
104. Определяне на разстоянието от точка M (2, 1) на линията на координатните оси изключване на дължини а = 8, 6 = 6.
105. триъгълника с върхове A (3/2, 1), В (\; 5/3), C (3, 3) за намиране на височината на дължината съставен от точка В.
106. На каква стойност на т права 7х - 2у - 5 = 0, X - \ - 7U - 8 = 0 и х - \ - към - 8 = 0 пресичат в една точка?
107. Предвид центъра страни на триъгълника: А х (-1, -1), V 1 (\ 9) и С (9: 1). Напишете уравненията midperpendiculars до страните на триъгълника.
108. Намерете острия ъгъл, образуван от права линия с ординатната ос,
минаваща през точка А (2; [/ г) и В (3, 2] / 3).
109. точки А (1, 2) и С (3, 6) са противоположни върха на квадрат. Определяне на координатите на другите два върховете на площада.
110. На оста х да се намери на мястото, където разстоянието от директния
ми 8x - \ - \ 5 г - \ - \ 0-0 е равен на 1.
* 111. Предвид връх на триъгълника: А (1, 1), В (4; 5) и С (13, 4). Създаване на средната уравнение, изготвен от точка Б, а надморската височина, изготвен от връх S. Изчисли площта на триъгълника.
112. Намери линии, принадлежащи към 2x- на лъча
113. Виж линия, преминаваща през точката на пресичане на линиите х + 6Y + 5 = 0, Sx - 2i / 4-1 = 0 и през точка М (-4/5 1).
114. Виж линия, преминаваща през точката на пресичане на линиите х - \ - 2у - \ - 3 = 0, 2 # + 3Z / + 4 = 0 и успоредно BX линия +
115. Виж линия, преминаваща през точката на пресичане на линиите Sx - 1 Y = 0, X - \ - Zu - \ - \ - 0 и успоредно на оста х.
116. Виж линия, преминаваща през точката на пресичане на линиите BX - \ - Zu + 10 = 0, X - \ - у = 0 и 15 чрез произхода.
117. Виж линия, преминаваща през точката на пресичане на линиите L; 2г + / 0 + 1 = 2 * R + / + 2 = 0 и образуваща ъгъл от 135 ° с хоризонталната ос.
118. Добави уравненията на права линия, минаваща през точка М (а, Ь) и образуване с линия х + у / + с = ъгъл от 45 °.
страна • 119. Дейна на триъгълника: х - у - 0 (AB) х - \ - у - 2 = 0 (Британска Колумбия) у = 0 (АС). Бъдете уравнението на медианата през върха B, а височината през върха на А.
120. показват, че триъгълник със страни х - \ - SLM + 1 = 0,
г ^ + # Z + 1 = 0 и х - 10 Y = 0 равнобедрен. Намерете ъгъла, под върха си.
121. Dana последователни върховете на успоредник: А (0, 0.0), В (1, 3), С (7, 1). Намерете ъгълът между диагоналите му, и да се покаже, че успоредник е правоъгълник.
Страни на триъгълника 122. Предвид: X - R / 2 + 0 =
123. показват, че триъгълника с върхове (1: 1), В (2;
C (3 1) е равностранен, и изчисляване на площта.
124. Покажете, че триъгълник, чиито страни са определени от уравнения с цели коефициенти не може да бъде равностранен.
125. Dana връх на триъгълника (3, 9) и средната уравнение: у 6 = 0 и Sx - 4 грама / + 9 = 0. Виж координатите на другите два върха.
126. Създаване уравнение хипотенузата на правоъгълен триъгълник, минаваща през точка М (2, 3), ако краката на триъгълника са разположени на координатните оси, а площта на триъгълника е равно на
127. Напишете уравненията на трите страни на квадрата, ако е известно, че четвъртата страна е 4L отсечка; Sr + / -12 = 0,
краищата на които се намират върху координатните оси.
§ 3. криви от втори ред
1. Circle. Обиколка - набор от точки на еднакво разстояние от дадена точка (център). Ако R - радиус на окръжността и точка C (а, Ь) - на центъра, тогава уравнението на окръжността е дадено от
По-специално, ако в центъра на кръга, съвпада с произхода, последното уравнение става
Ако дясната ръка на уравнение (1), за да отворите на скобите, ние получаваме уравнение
където т = - 2а, т = ^ 2Ь, п +
В общия случай, уравнение (2) определя кръг ако / 2 -J-т 2 - 4п> 0. Ако / 2 -f-т -4ya 2 = 0, горното уравнение определя точка (- 1/2; -m / 2) и ако / 2 + R 2 - 4 L <0. то оно не имеет геометрического смысла. В этом случае
Той казва, че уравнението определя един въображаем кръг.
Полезно е да се помни, че уравнението на окръжността включва висши членове на х 2 и 2 с еднакви коефициенти, и то не разполага с член с парче х от у.
Относителната позиция на точка М
128. Виж координатите на центъра и радиусът на кръга 2 + 2y 2 Z - 0
. R е т н д Разделяне уравнение 2 и уравнение група условия, ние получаваме х 2 - Ах
квадрати, като към първия биномно 4 и втори (5/4) 2 (и двете от дясната страна добавя сумата от тези номера):
По този начин, координатите на центъра на кръг с = 2, б = - 5/4 и радиус кръг R = 11/4 на,.
129. Създаване на уравнение окръжност на триъгълник, чиито страни се определят от уравненията 9л; - 2у - 41 = 0,
. R е с т н д Намираме координатите на върховете на триъгълник, решават заедно три уравнения:
(9Х-2y - 41 = 0, F 9L: - 2u- 41 = 0, 1 = 0, J 9L: - 2u- 41 = 0, (7х
Като резултат, ние получаваме L (3; -7), В (5, 2), С (1; 0).
Да предположим, че желаният уравнението на кръга е (х-а) 2 - \ - (Y - 6) 2 = R 2 С цел да се намери, г 6 и напиши трите уравнения чрез заместване в уравнението вместо желания текущата позиция координати на точки А, В и С. :
6) 2 = R 2; N 1 - а) 2 + б 2 = R 2 R 2. Без да се достигне до системата от уравнения:
G (3_s) 2 + (_ 7 - 6) 2 = (5 - а) 2 + (2 - б) 2. е 4а -29 + 186 = \ (3-а) 2 + (-7 -6) 2 = (1-а) 6 2 2 8 а или I-146 = 57
Следователно, = 3.1, "б = - 2,3. Стойността на R 2 е намерена от уравнението (1-Z-а) 2 +
т. е. А2 = 22.1, Така желания уравнението в писмена форма
130. Създаване на уравнението на окръжността, минаваща през точки
А (5, 0) и В (\ 4), ако нейния център се намира на линията X - \ - Y - 3 = 0.
. R е т н д Намираме координатите на средите на хордите AB M; имаме
Xg | = (5 + 1) / 2 = 3, m = # (4-1-0) / 2 = 2, т.е., M (3, 2) ... Центърът на кръга лежи на перпендикуляра към сегмента [AB]. Уравнението на правата линия (AB) има формата (
От наклона на тази линия е - 1. * ъгловата coeffi- са- перпендикулярна на нея е 1, и уравнението на перпендикуляра
Y 2 = 1 - (х-3), т.е. х-у-1 = 0 ...
Очевидно е, че в центъра на кръга С е пресечната точка на правата линия (AB) със споменатия перпендикулярно, т.е., координатите на центъра се определят чрез решаване на системата от уравнения х - .. \ - Y - 0 = 5, х - у -1 = 0. Следователно, х = 2, у = \, т. Е,
C (2, 1). Радиусът на кръга е равна на дължината на интервала [CA], т.е. R =. 5 - (2) 2 + (1-D) = V 2 Така желания уравнението на формата
131. Създаване уравнение акорд периферен% 2 + * / 2 = 49, разделяне на точка А (1, 2) на половина.
. R е т н д образуват диаметъра уравнение на окръжността, минаваща през точка А (1, 2). Това уравнение има форма Y = 2x. Желаният хордата е перпендикулярна
диаметър и преминава през точка А, т. е. неговия уравнение
Y 2 = - у (х 1), или х + 2y - 5 = 0.
132. Виж уравнението на окръжност, симетричен с кръга 2 2 4 4 по отношение на линия Х - R / - 3 = 0.
R е т н д. Нека уравнение даден кръг на каноничен формата
Y 2 = - х + \, и х + у - 3 = 0.
Решаването на уравнение х-у - 3 = 0 и х - \ - Y - 3 = 0, ние получаваме х = 3, г / = 0, т.е. проекцията на точка (1; 2) в точка Р дадена линия (.. 3, 0). Координатите на точката симетрични от формулите средата координира: 3 = (L-F-х л) / 2 1. О = (2-й-ил) / 2; по този начин, * аз = 5, * / I = - 2. Следователно, точка х С (5; -2) симетричен център кръг, и уравнението на окръжността е дадено от
133. Виж набор от средите на акорда Обиколката х 2 - \ - у г = 4 (у - \ - 1), изготвен чрез произхода.
R е т н д. Уравнение набор от струни има форма у = KX на. Ние изрази координатите на пресечната точка на хордата чрез кръг К, за които решаване на системата от уравнения Y - KX 2 и X - \ - Y 2 - \ -4 у = 0. получи квадратно уравнение х 2
- \ KX - 4 = 0. Тук Xi + ^ 2 = 4fe / (L - \ - к 2). Но половината от сумата на хоризонталната абсцисата дава средата на акорд, т.е., х = 2k / (л - \ - к 2) .., а ординатата средата на акорд у = 2k 2 /
Премахване от тези уравнения к (което е достатъчно за съотношението на х = 2 / (L + к 2) да к = Y / х), ние получаваме х 2 + Y 2 -2u = 0. По този начин, желания набор е кръг.
134. За да се определи координатите на центровете и радиусите на окръжностите:
2. Ellipse. Елипсата е множеството от точки, сумата от чиито разстояния до двата информационни точки, наречени огнища е константа (е обозначен с 2а), където тази константа е по-голямо от разстоянието между огнища.
Ако оси са разположени по отношение на елипса, както е показано на фиг. 10 и фокусите на елипсата се намира на оста х на равни разстояния от nachapa точките координира F х (а, 0) и F 2 (- в 0), след това се прост (каноничен) Уравнение на елипса:
Тук -Голям, б - малката ос на елипсата, и А, В и С (с е половината от разстоянието между огнища) са свързани с две = б 2 - \ - и 2.
Формата на елипса (мярка за неговото сгъстяване) се характеризира с ексцентрицитет Е = с / а (от <а, то е <1).
Разстоянията от буква М от фокусите на елипсата, наречени неговата централна radiusamivektorami тази точка. Те обикновено представляват г \ г и 2 (в определението на елипсата за всяка точка G1 - \ - г 2 - 2 а).
В специалния случай, където А = В (а = 0, е = 0, на огнища се обединяват в една точка - центъра), елипсата става кръг (с уравнението х 2 -F-
Относителната позиция на точка М (Xi, у х) и
147. Намерете ексцентричността на елипсата, ако фокусното разстояние се вижда от върха на върха на ъгъл а.
148. На линия # 5 = 0, за да намерите точката, еднакво отдалечени от левия горен връх и фокус на елипсата х 2/20 + * / 2/4 = 1.
149. Използването на определението на елипса, да направи неговото уравнение,
ако знаем, че точка F х (0, 0) и F 2 (1, 1) са фокусите на елипсата, и дължина на основната ос е равен на 2.
150. Създаване уравнения на точките, чието разстояние от точка А (0, 1) е по-малко от два пъти разстоянието до права линия у - 4 = 0.
151. Краищата на сегмента AB на постоянна дължина и слайд от двете страни на прав ъгъл. Намерете уравнението на кривата описана от точните
Coy М разделяне на сегмента в съотношение 1: 2.
3. хипербола. Хипербола е множеството от точки, абсолютната стойност на разликата на чието разстояние до двете точки данни наречен огнища е константа (означен със своята 2с), при което тази константа е по-малка от разстоянието между огнища. Ако сложите фокусите на хиперболата в точките Fi достъп (с; 0) и F 2 (- С; 0), получаваме
каноничен уравнение на хиперболата
bying горната част на правоъгълника са асимптоти на хипербола. Фиг. 11 от относителното положение на хиперболата и неговите асимптоти. Съотношението е = С / с >> 1, се нарича ексцентрицитета на хиперболата.
Фокусни радиус вектори на десния клон на хипербола: X = R е - а (полето фокална позиция вектор) г 2 = д - \ - а (лявата фокална радиус вектор).
Фокусни радиус вектори на левия клон на хипербола: R L = - ех - \ - а (полето фокална радиус вектор), R2 = - ех-а (лявата фокална радиус вектор).
Ако А = В, след това уравнение е под формата на хипербола
Такова хипербола се нарича равностранен. Нейната асимптота образуват прав ъгъл. Ако координатните оси приемат асимптоти правоъгълна хипербола, уравнение му става XY - m (т = ± с 2/2; когато m> 0 хипербола се намира в квадранта I и III, с т <0 — во II и IV четвертях). Так как уравнение ху — т можно переписать в виде у = т/х, то равнобочная гипербола является графиком обратной пропорциональной зависимости между величинами х и у.
R ^ - - ^ г = - 1 и б 2 2 /