Ако въведете пространството координатна система, точка Р в тази

системата ще има някои координати и скаларно количество ще бъде функция на тези координати. От друга страна, всяка функция на три променливи определя скаларна област. Скаларни поле често геометрично представлявана от така наречените равни повърхности.

Определение. ниво на повърхността на полето за скаларно е мястото на точки на пространството, в което функцията поле има същата стойност S.

Уравнението има повърхности ниво форма. , С дават различни стойности, които получаваме повърхности семейство ниво.

Например. ако полето се задава с функцията. повърхности ниво са сфери центрирани в основата.

Заедно с скаларно поле в пространството също се счита за плосък скаларно поле. Функцията на плосък скаларно поле, което зависи от две променливи:

Плосък скаларно поле представена геометрично чрез линии на ниво. За функцията на плосък скаларна ниво поле линия е както следва :. където C - константа.

Например. за плосък скаларно поле дефинирана функция. линии ниво са равностранен хипербола.

При един диференцируема функция на скаларно поле.

Помислете за мястото на тази област и гредата, която произтича от точка P в посоката на вектора на единица. където ъглите на вектора с координатните оси.

Да - някаква друга точка на лъча. Ще означаваме разстоянието между точките и.

Определение. Производно на функция в посока на

Това е границата, и е обозначен.

Забележете, че ако производното на функцията в точката, в даден посока е положителен, тогава посоката на увеличенията на функция, и ако <0, то функция в этом направлении убывает.

Можем да кажем, че посоката производно дава степента на промяна в посоката на функция. Ние извлече формула за изчисляване на посоката производно. Това за първи път се отбележи.

Тъй като функцията е диференцируема при условие, + + +. и след това

В случай на плоска скаларно поле посока производно е следното: +.

1) Виж производното на функция в точка

в посоката на движение от точка до точка.

Ние намираме на вектора и на съответната единица вектор. По този начин. , ,

Сега ние откриваме частните производни на

. и техните стойности в точката:

2) Виж производното на функцията на точка (1, 1) в посоката на ъглополовящата на първия квадрант.

Unit вектор ъглополовяща на първи квадрант е.

Градиентът на скаларно поле.

Определение. Градиент на скаларна областта на точка, определена диференцируема функция. Тя се нарича вектор равен

1) Виж градиента на функцията на точка.

2) Виж градиента на функцията на точка.

Теорема. Проекцията на вектор от единичен вектор е насочен производно. ,

Да. Известно е, че проекцията на вектор на вектор единица е равна на скаларен продукт на тези вектори.

Означаваме ъгълът между единичен вектор ф. Тогава =.

Ако посоките на векторите и съща, тогава посоката производно. Той има най-голяма стойност на.

Така стигаме до извода, че градиентът е вектор показва посоката на голямото увеличение на поле в даден момент и като

модул на скоростта на това увеличение.

Намерете най-висок темп на нарастване на функцията

В точка. Следователно, най-голям процент на увеличение е равно на функцията.

= Изясняване позиционна връзка в този момент и равна повърхност, преминаваща през тази точка.

Нека се дава от уравнението на тази повърхност.

Помислете кривата. лежи на повърхността и минаваща през точката.

Да предположим, че кривата е дадено от уравненията

. където диференцируема функция, където

Всяка точка има координати крива. които трябва да отговарят на равна повърхност, тъй като кривата лежи изцяло върху тази повърхност. По този начин.

Разграничаване от двете страни на тази идентичност. получаваме

. По-специално, когато имаме

В лявата част на това уравнение е скаларен продукт и вектор. насочва тангенциално към кривата. По този начин.

Да предположим, че. След това, от последното равенство, която е перпендикулярна на. Тъй като кривата е избрана произволно, стигаме до следното заключение.

Всички допирателната съставен на мястото на линиите, да лежи на равна повърхност и минаваща през точката. разположени в една равнина, перпендикулярна на вектора. с уговорката, че вектора не е нула.