Zhennoe пространство

AN Ostylovsky Лекция 12. (двойно пространство). Линейни форми и техните компоненти. Двойното пространство. Dual основа. Подмяна база в двойна пространство. Многопараметричен форма, нейните компоненти. форма Многопараметричен компонент реализация при промяна на база

12.1. Линейни форми и техните компоненти

Ние считаме, че наш тримерно линейно пространство L над областта на недвижимите числа R.

Определение 12.1. От е. L. R форма, наречена линеен ако

за всички х; Y 2 L и 2 R:

Пример 12.1. Най-простият линейна форма L е ню

лявата функционалност. L. R; т.е. (X) = 0 за всяко х 2 L:

Пример 12.2. Отстраняване на а = [1 ,. ; а п] 2 R п. за

произволна х = [х 1 ,. ; х п] Т2 R п набор

където А = [1 ,. ; а п] координатната "портрет \ F образува основа напр. Така произволна форма е еднозначно определена от нейните компоненти в основа избрана. От друга страна, тези компоненти могат да бъдат избрани произволно (вж. Пример 2, раздел 3.1).

Линейни форми за L, т.е. L. елементи, наречени covectors.

12.3. двойно основание

Нека д основа в L, и д = Fe 1 ;. ; д п г Т covectors система са дефинирани в пример 4.

Оферта. д система е основа в L. Тя се нарича конюгата на основа напр. Компонентите на е в основата Е са координатите на база д:

Доказателство. Ние показваме, че (2) следва,

е = 1 е 1 + + A N = A т.е. I = ад д п:

За произволно х = т.е. и 2 L имат

(А й д й) (х) = а й д й (т.е. I) = а й т.е. й (д l) = а к I I J = а й J = а = е (х):

По този начин, уравнение (3) е доказано. Остава да се провери линейна независимост на електронна система. За да направите това, ние трябва да покажем, че координатите на нула форма. в тази система са равни на нула. Така да бъде. = А т.е. аз. след това

! 0 = (д к) = (а т.е. I) (д к) = а т.е. и (д к) = а Й аз = а й:

Следствие. dimL = dimL:

Забележка 12.1. Основа е = Fe 1 ;. ; д п г Т пространство в L да напише колона. От това следва, често използван съотношение

компоненти са така наречените Т формата многопараметричен в база е = Fe 1 ;. ; д п г. Лесно е да се изчисли, че техният брой е равен на п р + р.

Имайте предвид, че за даден р и р, можем да изгради многопараметричен форма от тип (р; р), чиито компоненти във всеки

основа равно п р + р предварително зададени номера T I 1. стр. В действителност,

Тази форма се основава на формула (12).

Пример. Линеен оператор A. L. L присвоява билинейна форма T А. L L. R:

Нека [а Й] матрица от А в някои основа напр. след това

Т А (Е и Е й) = д I (А (Е й)) = д и (К й д к) = а Й;

т.е. Т форма компоненти съвпадат със съответните елементи на оператора в база матрица Е. От това следва, че съответствието между линейни оператори и многопараметричен форми на тип (1; 1) е биективен.

Упражнение. Уверете се, че смесения продукт от три вектори е многопараметричен форма от тип (0, 3).

12.6. форма Многопараметричен компонент реализация при промяна на база

Обръщаме от базовата е = Fe 1 ;. ; д п г на база е = Fe 0 0 1 ;. ; 0 е н г. нека

д 0 = ES; 0 д J = й т.е. й;