вписаната
където р - половината периметър на триъгълник, з а. з б. ч с, h_> - височина провежда за съответните страни на [1];
- Ако А Б - основата на равнобедрен триъгълник △ А Б С кръга допирателната към страните на ъгъла ∠ A C B в точки А и В. Тя преминава през центъра на вписан кръг на триъгълника △ А Б С
- Теорема на Ойлер. R 2 - 2 R = R | О I | 2 -2Rr = | OI | ^>. където R - радиус на триъгълник по периферията, г - радиусът на кръга вписан в него, О - окръжност, I - центъра на вписан кръг.
- Ако права линия, минаваща през точка I успоредна на страната AB, BC и CA пресича страни в точките А1 и В1. След това 1 В 1 А = 1 + А Б В 1 B_ = A_B + AB_>.
- Точката на допиране T триъгълник вписан в окръжност свързан отсечки - се получава триъгълник Т1
- ъглополовяща Т са Т1 midperpendiculars
- Нека T2 - ortotreugolnik T1. Тогава ръката си успоредно на страните на оригиналния триъгълник Т.
- Нека T3 - средата на триъгълника T1. Докато ъглополовяща Т са височините на Т3.
- Нека Т4 - ortotreugolnik T3. докато ъглополовяща Т са ъглополовящи Т4.
- Радиусът на вписан в правоъгълен триъгълник с крака A, B и C хипотенузата е равна на обиколката на А + Б - в 2 >>.
- С разстояние от върха на триъгълника до точката, в която вписан кръг засяга страните, е равна на г = а + б - в 2 = р - C> = р-C>.
- Разстоянието от връх до центъра С на вписан кръг равнява л с = R грях (γ 2) =>) >>>. където R - радиусът на вписан кръг, и γ - ъгълът С
- Разстоянието от връх до центъра С на вписан кръг може да бъде намерен с формули л с = (р - в) 2 + R 2 = + R ^ >>> и л с = а б - 4 R = R >>
- Теорема на тризъбеца, или трилистник теорема. Ако D - пропускателен пункт на ъглополовящата на ъгъл с описаните окръжности на триъгълника ABC. I и J - центрове съответно надписани и escribed кръг допирателна към другата BC. след това | D I | = | D B | = | D C | = | D J | ,
- Лема Verrier [2]. Нека V кръг допирателна към страни А Б. А С и Б В на дъга обиколката на триъгълника А Б С След това точките на допиране на кръг V със страни и центъра на вписан кръг на триъгълник А Б В лежат на една линия.
- теорема Фойербах е. Що се отнася до девет точки кръг трите escribed кръгове. и вписан кръг. допирна точка Ойлер кръг и вписан в The е известен като точка Фойербах на.
Комуникацията с вписан кръг има дължина от кръга
където р - semiperimeter триъгълник, S - площта му.
- Вертикалите vosstavlennye на страните на триъгълника в допирните точки на кръгове escribed се пресичат в една точка. Това симетрична точка на вписан кръг около центъра на кръга, описан център [4].
- За триъгълник може да се конструира poluvpisannuyu кръг или кръг Varera. Този кръг допирателна към две страни на триъгълник и неговата окръжност кръг вътрешно. Сегменти, свързващи съответните върховете на триъгълник и допирните точки с описаните окръжности Верие. пресичат в една точка. Тази точка е в центъра на дилатация с положителен коефициент, който взема под вписан кръг описано.
- Център на вписан кръг се намира на отсечката, свързваща точките на контакт страни на триъгълник и кръг poluvpisannoy на.
Poluvpisannaya обиколка и център хомотетия G за изписани и окръжности с радиуси R и R, съответно,
- Описан четириъгълник. ако той не притежава самостоятелно кръстовища ( "прост"), трябва да е изпъкнал.
- Някои (но не всички) на четириъгълници има вписан кръг. Те се нарича окръжност четириъгълник. най-важното е, че сумата от противоположните страни са сред свойства на тези четириъгълници. Това твърдение се нарича теорема на Пито.
- С други думи, изпъкнал четиристранни ABCD в кръга могат да бъдат изписани ако и само ако сумата от неговите срещуположни страни равен на: A B + C D = B C + A D.
- Най-малко два средата описани четириъгълник диагоналите и центъра на вписан кръг са колинеарни (теорема на Нютон). Също така е средния сегмент с крайни точки на пресичане на удълженията на противоположните страни на четириъгълник (ако те не са успоредни). Тази линия се нарича Гаус линия. Фигурата е зелен, червен диагонал, нарязани краищата на пресечните точки на разширения на противоположните страни на четириъгълник е червен.
- Център описано около обиколката на четириъгълник - височина на точката на пресичане на триъгълника с върхове в точката на пресичане на диагоналите и пресечните точки на противоположните страни (Brocard теорема).
В сферичен триъгълник
В вписан кръг на сферичната триъгълник - окръжност допирателна на всички свои страни.
- На допирателната радиус [5] от вписан кръг в сферичен триъгълник е равна на [6]: 73-74
- Вписан в сферичен триъгълник кръга принадлежи към областта. Радиус съставен от центъра на областта през центъра на вписан кръг пресича областта в точката на пресичане на ъглополовящи на ъглите (дъги на голяма окръжност на сферата, разделяне на ъгъла на половината) сферичен триъгълник [6]: 20-21.
Поредица от кратки бележки не се съдържат в статията, или не води до раздел "Препратки".