Висша математика
Нека някой се променя у стойност. в зависимост от променливата х. Предполагаме, че тази променлива х може да бъде променен, така че да отговарят на условие B >>. Променливата "подходи" ( "ангажирани") към нещо (това означава, че ние ще се актуализира по-късно с помощта на строги дефиниции). Тогава възниква въпросът не провежда себе си, ако у някаква "правилен" начин, също "се опитва" да нещо, например, на броя на L. Ако е така, това "нещо" се нарича граница на база за дадено състояние B >> за х и е обозначена
Ние сега дават на строго определение на срока в някои специални случаи, и след това да се премине към обсъждане на общото определение.
Нека у = е (х) - е функция на реална променлива х. дефинирано във всички точки на интервала (а, Ь). освен евентуално в точката х 0 ∈ (а, б) \ в (а, б)>. Нека да се определи граничната стойност на Y, при условие, че х към точката х 0>. Това състояние е посочено от кратко х → х 0>. Desire х до х 0> означава, че когато промените своя х появява в един все по-тесен близост заобикалящата точката х 0>. но не идентичен с х 0>. което означава, че стойността на | х - х 0 | \ Vert> става все по-малки и по-малки, по-близо до 0, но не са равни на нула. То може да бъде, че съответната стойност х у = F (х) стане по-близо до определен брой у 0>. Освен това, за всеки произволно малък квартал на у 0>, можете да посочите колко тясно х трябва да дойде до х 0>. стойностите Y = F (X) вече са се появили в близост до у 0>. Тогава номер ш 0> е границата на F функция (х), при условие х → х 0>. който е написан, както следва:
Формализират каза да се даде по-голяма яснота математически. Всяко съседство на точката у 0> (симетричен по отношение на у 0>) се характеризира с половин ширина д> 0> 0>. т.е. има форма интервала (ш 0 - ε у 0 + ε) -; Y _ +)>. Ако стойността на у са в такава електронна> е квартал, това означава, че | у - у 0 | <ε \vert <> . Всеки квартал на х 0>. не съдържащ най точка х 0> (и симетрично по отношение на х 0>), - асоциация на два съседни intervalov3 (х 0 - δ х 0) ∪ (х 0 х 0 + δ) = (х 0 - δ х 0 + δ) ╲
За да направите това, ние се определи на произволен брой електронна> 0> 0>. определяне околност на (1 - ε 1 + ε); 1 +)>. и да определи на каква стойност на х е (х) ще падне в съседство с един.
Нека сега разгледаме още една важна граница случай.
От това уравнение (1) следва, че с увеличаване на п редица положителни отношение на страничните увеличава дясно. Освен това, чрез увеличаване на броя п п >> 1 намалява, така че стойността (1 - 1 N). . (1 - 2 N)> \ десен), \ ляво (1 -.> \ Десен)> увеличи. Следователно, последователността,
Ние показваме, че той е ограничен. Замяна на всяка скоба от дясната страна по един, от дясната страна ще се увеличи, ние получаваме неравенството
Засилване на получената неравенството, замени 3,4,5, ... заставане в знаменателя на броя на фракция 2:
Размерът на скобата в съответствие с формулата намираме сумата от геометрична прогресия членове:
Така, последователността е ограничена по-горе, където п 8 2 N> п>
\ Mathbb> неравенството (2) и (3) 2 <( 1 + 1 n ) n <3
Следователно, въз основа на теоремата Вайерщрас (последователност критерий конвергенция), последователността х п = (1 + 1 н) п. N 2 = N \ наляво (1 +> \ дясно) ^, п>
\ Mathbb> монотонно увеличаване и ограничена, тогава границата е представена от буквата Е. Т.е. Lim п → ∞ (1 + 1 н) д \ лявата (1 +> \ дясно) ^ = д п = >>>
Знаейки, че вторият забележителен граница за истински положителни стойности х, докаже втори забележителен граница за реално х, т.е. докаже, че Лим х → ∞ (1 + 1 х) х = д; х 2 R \ лявата (1 +> \ дясно) ^ = е х>
\ Mathbb>. Ние считаме, че два случая:
1. Нека х → + 1 >>. Всяка стойност на х се намира между две положителни числа: N ⩽ х
От тези два случая предполага, че Лим х → ∞ (1 + 1 х) х = д \ ляв (1 +> \ вдясно) ^ = д> за недвижими х.
Интересен имот на забележителна втора граница е, че той показва интерес банков депозит в nepriryvnoy капитализация. Да предположим, че процентното участие на р на. След това, в продължение на капитализацията на пъти годишно получаваме S * (1 + р). Когато капитализация веднъж месечно получаваме: S * (1 + р / 12) 12>. Когато nepriryvnoy kapitazizatsii получаване: S * Lim х → ∞ (1 + р х) х = S * д р \ лявата (1 +> \ дясно) ^ = S * д ^>
Lim х → ∞ х (LN (х + 1) - LN (х)) = Лим х → ∞ х (LN х + 1, х) = Лим х → ∞ х (LN (1 + 1 х)) = Лим х → ∞ LN (1 + 1 х) х = LN д = 1 х \ наляво (\ LN (х + 1) - \ LN (х) \ дясно) = \ Lim _x \ наляво (\ LN> \ дясно) = \ Lim _x \ наляво (\ LN (1 +>) \ дясно) = \ Lim _ \ LN (1 +>) ^ = \ LN д = 1> == Таблица еквивалент безкрайно в х → 0 = = e7x / tg3x