Резюме пети постулат
В увода към книгата си "Новите старт геометрия" Лобачевски категорично заявява: [29]
Всеки знае, че в теорията на паралелната геометрия все още остава несъвършена. Vain усилия, тъй като Евклид, в продължение на две хиляди години, ме накара да се съмнявате, че повечето концепции все още не е истината е, че те искаха да се докаже и потвърди, че, подобно на други физични закони, може само опит, това, което, например, астрономически наблюдения.<…> Основният извод <…> признава съществуването на геометрията в по-широк контекст, а не както ни е предоставило първата от Евклид. В това пространство, дадох научно име на въображаем геометрия, където като специален случай включва често използвани геометрия.
В края на XIX и началото на XX век, първите математика (Бернхард Риман, Уилям Кингдън Клифърд), а след това по физика (общата теория на относителността, Айнщайн), най-накрая сложи край на догмата за евклидовата геометрия на физическото пространство.
6. Доказателство за независимостта на петия постулат
За да се докаже съответствието на новата геометрия или Лобачевски, Бояй нито успя да - тогава математиката все още не разполага със средства да го направят. Само на 40 години по-късно дойде модела Клайн (1871) и Поанкаре модел (1882), за прилагане на аксиоматична Лобачевски геометрия базирани на евклидовата геометрия. Тези модели доказват убедително, че отричането на V постулат не противоречи на останалите аксиоми на геометрията; това предполага, че V постулат е, независимо от останалите аксиоми и се окаже невъзможно.