Решаването квадратни неравенства чрез извличане на квадрата на биномно

Понякога е полезно да се откаже от стандартите и погледнете на проблема от другата страна. В контекста на решаването на квадратни неравенства, това означава, че би било хубаво да се научат как да се справят с тях, не само обичайните графичен метод или метода на интервали от време. но по различен начин. Един от тях не е съвсем обичайните подходи за решаване разгледаме в тази статия.

Тук ще разгледаме решението за квадратни неравенства, като маркирате квадрата на биномно в лявата им страна. Тук е посочено парчетата от теоретичната част на този проблем и да го обясня веднага, давайки примери с решения.

Навигация в страниците.

Методът

Да започнем със същността на метода за решаване на квадратни неравенства за · х 2 + б · х + в<0 (знаки неравенства могут быть и ≤,>, ≥) чрез избор на квадрат биномно. Въпросът е прост: използване равносилно да се трансформират неравенство. като се излиза от неравенството прехвърля в еквивалентни неравенство форма (х-р) 2 , ≥), където р и р - някои цифри, и вече е направено заключение за разтворите на първоначалното неравенството.

Остава да се изясни две точки: като изходен квадратичен неравенство на формата (х-р) 2 , ≥), и как да се справят с този вид неравенство. Е посветена на тях на свой ред.

Преходът от квадрата на неравенството на различията (х-р) 2 , ≥)

За да донесе средното квадратично неравенство (х-р) 2 , ≥) изпълняват следните стъпки:

• Първият етап се предава, когато коефициент х 2 е равно на 1. Ако съотношение различно от единство, след това се разделят двете страни на неравенство на. Освен това, ако> 0. запази знака на неравенството, а ако е<0. то знак неравенства изменяют на противоположный. Указанное преобразование является равносильным, и в результате получается неравенство с коэффициентом 1 при x 2. равносильное исходному.
• Втората стъпка е преминал, когато няма план с променливите х в първа степен. Ако коефициентът на X е различно от нула, тогава отляво се изолира квадратен биномно.
• И накрая, терминът-броя оставащите (ако има такъв) се прехвърля с обратен знак в дясната ръка.

Като резултат от тези стъпки, ние получаваме неравенството на желаните видове.

Занимаваме се с тези трансформации квадратен неравенство с конкретни примери.

Ще започнем с неравенството 2 х ≥0. Коефициентът на 2 х е равно на 1. Следователно, на прехода към втория етап. Той е също липсва, защото няма план с променлива х. В третия етап, също не е нужно да правите нищо, защото от лявата страна има срок представлява от номер. Така че, първоначалното неравенство вече е писано в изискваната форма (х-р) 2 ≥q когато р = 0 и Q = 0 (които можете да забележите веднага).

Сега да квадратното неравенство 5 · х 2 <0. Чтобы его привести к виду (x−p) 2

Виж по-нататък квадратното неравенство. Разделете го от двете страни е отрицателно число, промяна на знака на неравенството, виждаме, че едно и също нещо, без да ирационалността в знаменателя. , Вторият етап ще бъде пропуснат поради липса на срока с х. И в последния етап прехвърли термина в дясната ръка :. Така че ние имаме нужната форма на неравенството (х-р) 2

Вземете следния случай. За да го приведе към правото, имаме предвид за първи път изпълни своето разделение на двете страни с една трета, което е еквивалентно на умножава по реципрочната 3. поддържане на знака на неравенството, и тя се превръща в формата х 2 + 6 · х + 9≤0. Там е термин, с х. затова извърши действие на втория етап на алгоритъма - изберете биномно квадрат, в резултат имаме (х + 3) 2 ≤0. Третата стъпка не е необходима, тъй като след отделянето на квадрата на биномно лявата числен план. Така че, първоначалният квадратното неравенство, ние заменя неравенството (х-р) 2 ≤q. където р = -3 и р = 0.

И последния пример. Да разгледаме квадратичен неравенство 4 · х 2 -4 · х-1<0. Делаем коэффициент при x 2 равным единице, выполняя деление обеих частей неравенства на 4 ; получаем . Теперь надо выделить квадрат двучлена: и дальше . На последнем шаге остается перенести оставшееся слагаемое −1/2 в правую часть, изменив его знак. В результате приходим к неравенству нужного нам вида , где p=1/2. q=1/2.

Как да се реши неравенството (х-р) 2 , ≥)?

Така че, ние сме се научили да се премести от решаване на квадратни неравенства еквивалентно на решаването им на неравенството (х-P) 2 , ≥). Сега трябва да разбера как да ги решим. За да направите това, от своя страна, помислете за три случая: Q - отрицателно число, Q = 0 и В - положително число.

За р<0

В този случай (и в следното, когато р = 0) Това решение се основава на степента на собственост. произволен брой на квадрат е неотрицателно номер, където всеки квадратен на ненулева брой е положително число и на квадрата на броя е нула, ако и само ако броят на основата е нула. Това означава, че г 2 ≥0 за произволен брой г. където г 2> 0 за всички г ≠ 0. и г 2 = 0, ако и само ако D = 0.

Така че, нека р - отрицателно число. Стойността на експресия (х-р) 2 винаги са не-отрицателни свойства ефект на гореспоменатата квадрат. Следователно, неравенството (х-р) 2> р, и (х-P) 2 ≥p важи за всички стойности на х. Следователно тяхното решение е всяко реално число. На свой ред, неравенството (х-р) 2

Решаване квадратичен неравенство х 2 + 4 · х + 5> 0.

Изолират пълен квадратен в лявата част на кв неравенството: х 2 + 2 · 2 · х + 2 2 -2 2 5> 0. (X + 2) 2 + 1> 0. и прехвърляне на устройството към дясната страна (х + 2) 2> -1. Това неравенство еквивалентни на оригиналните квадратен неравенство. Неговото решение е всяко реално число, тъй като стойността на израза от лявата страна не е отрицателен за всички х. и за всяка неравенство х (х + 2) 2> -1 е валиден. Следователно, решението на оригиналния неравенство и всяко реално число.

За р> 0

Остава да се справят с разтвор неравенства (х-р) 2 и р (х-р) 2 с положителен ≥q р.

В основата на тяхното решение се основава на две свойства на корена. за положителни числа U и V, неравенството ф, ≥) неравенството (≤,>, ≥), и за всяко реално число т уравнение притежава. Тези свойства на неравенство (х-P) 2 , ≥) позволи да отиде на еквивалентен ирационално неравенство и неравенството към модула (≤,>, ≥).

Неравенства с модула обикновено са решени през отвора на модул. Така например, от неравенството, да отидете на двете системи на неравенството и без модула. За по-голяма яснота, ние решим един пример.

Решаване квадратичен неравенство х 2 -6 · х-7> 0, чрез осигуряване на квадратен биномно.

Изберете биномно квадратен от лявата страна: X -2 · 2 · х + 3 2 3 -3 2 -7> 0. (X-3) 2 -16> 0. и плъзгане -16 термин в дясната страна със знак плюс, ние получаваме (х-3) 2> 16. И това е еквивалентно на неравенството, а още | х-3 |> 4. Сега ние се отървете от модула, преминавайки към набора разтвор на двете системи на неравенството,

Така, разтворът на оригиналния квадрат е неравенство х<−1. x>7.

Ще покажем още един доста удобно, и най-важното - добър, начин за решаване на неравенства от вида (≤,>, ≥), елиминира необходимостта от решаването на системи. Тя се основава на геометричния смисъл на модула.

В геометричната интерпретация модул | х-р | - разстоянието на координатната ос на точка с х координира до точката на стр. Поради това,

Удовлетворяват неравенството координатите на всички точки на оста координира, чието разстояние до точката с координата р-малък от. Нека да се убедите в това:

Това означава, че решенията му са номерата от интервал.

Неравенството е вярно за всички такива х. при което разстоянието от точката с координата р-малка от или равна на.

В този случай решението на неравенството се изписва така.

При решаването на неравенството ние се интересуваме от тези условия, разстоянието до която от гледна точка на координатната стр. повече.

Неравенство разтвор в този случай е, както следва :.

И накрая, неравенството геометрично представени в следния чертеж

И решаването на неравенството е настроен.

Сега за сравнение решаване на горния пример, въз основа на изчисления само дадени.