Рейтингите са случайни величини

Получената оценка е специален случай на случайна променлива. Причината е, че комбинация от стойности х в пробата случайно като х - случайна променлива и следователно, е случайна променлива и нейните функционални комплект стойности. Вземете, например, - оценка на очакването:

Беше показано, че стойността на х и в тата наблюдение могат да се разделят на два компонента: постоянна част и чисто случаен компонент:

където - пробата средни стойности.

От тук можете да видите, че. Подобно на х. Той разполага с фиксиран и чисто случайни компоненти. Нейната фиксиран компонент -. което означава, че очакването на х. и неговата случаен компонент -. т.е. средна стойност на чисто случаен компонент в пробата.

функция на вероятностите плътност на х и са представени в същите графиките (фиг. 6). Стойността на х се счита за нормално разпределение. Тя може да се види, че разпределението е х. и. симетрична по отношение на - теоретичната средната за страната. Разликата между тях е, че разпределението е вече по-висока. Количество. Тя трябва да бъде по-близо до най-вероятно. от стойността на един наблюдение х. тъй като случаен компонент е средната стойност на чисто произволни компоненти в пробата, които очевидно "гаси" един към друг при изчисляване на средната стойност. След това теоретичната стойност на дисперсията е само част от теоретичната дисперсия.

Размер - теоретична оценка на дисперсията х - е случайна променлива. Изваждайки (18) от (17) имаме:

По този начин, зависи само от чисто случаен компонент в х наблюдение проба. Тъй като тези компоненти се различават от проба до проба и от проба до проба и стойността на оценка варира.

Тъй като оценките са случайни величини, техните стойности само случайно може точно се равняват на характеристиките на цялото население. определена грешка обикновено ще присъства които могат да бъдат малки или големи, положителни или отрицателни в зависимост от чисто случайни променливи х компоненти в пробата.

Въпреки, че тя е неизбежна, по интуитивен ниво, е желателно обаче да се изчисли средната стойност за достатъчно дълъг период от време е бил чист. Да го кажем официално, ние бихме искали да се направи оценка на очакванията би било равно на съответната характеристика на населението. Ако е така, тогава оценката се нарича безпристрастен. Ако не е, тогава оценката се нарича офсет. и разликата между средната и отговарящият теоретична характеристика на населението се нарича офсет.

Нека започнем с стойност на извадката. Дали това е обективна оценка на теоретичния означава? дали и равен. Да, това е, че непосредствената последица от (18).

Стойността на х включва два компонента - и. Стойността е средната чисто случайни променливи х компоненти в пробата, и от очакването на такъв компонент във всяка наблюдение е нула, математически очакването е равна на нула. Ето защо,

Въпреки това, в резултат на оценката - не само възможно, безпристрастен оценител. За простота приемем, че имаме извадка от само две наблюдения - и. Всеки средно претеглена стойност на наблюденията, и би било обективна оценка, ако сумата от теглата е равен на единица. За да се убедите в това, да предположим, че сме изградили генерализирано оценка на формулата:

Очакванията на Z е:

Ако сумата е равна на един, а след това ние имаме, и Z е обективна оценка.

Така, по принцип, броят на непредубедени оценки за неопределено време. Как да изберем един от тях? Защо всъщност ние винаги използваме извадката означава това?

Досега са се разглежда само теоретична оценка на средната стойност. Над твърди, че количеството. определена в съответствие с таблица. 6 е теоретична оценка на дисперсията. Може да се покаже, че очакването на едни и същи. и тази стойност е обективна оценка теоретично дисперсия, ако наблюдението в независим на проба от друг. Доказателството за това е математически проста, но отнема време, така че ние да го пропуснете.

Безпристрастен - желана оценки на имотите, но това не е единственият такъв имот. Друг важен аспект на - надеждност. Разбира се, важно е, че оценката е точна средно в продължение на дълъг период от време. Бихме искали да видим нашата оценка с възможно най-голяма вероятност ще предостави подобна стойност на теоретичната характеристика, което означава, че желанието да се получи функция на плътността на вероятността, колкото е възможно като "компресиран" около действителната стойност. Един от начините за изразяване на това изискване - да се каже, че ние ще получите, доколкото е възможно малък разрез.

Да предположим, че имаме две оценки на теоретичната средното, изчислени въз основа на една и съща информация, че те и двете са безпристрастен и че функциите им плътност на вероятностите са показани на фиг. 7. Тъй като плътността на разпределението за оценка на Б "по-сгъстен", отколкото да се направи оценка А. с нейната помощ ние по-скоро ще получи по-точна стойност. Формално погледнато, тази оценка е по-ефективна.

Говорихме за желанието да получите оценка, колкото е възможно по-малко разсейване и ефективна оценка - е една, в която отклонението е минимално. Сега ще разгледаме разсейването на генерализирана оценка на теоретичната стойност и да се покаже, че тя е минимална в случаите, когато двете наблюдения имат еднаква тежест.

Ако наблюденията са независими и теоретични дисперсия на генерализирана оценка е:

Ние открихме, че е необходимо за сумата, равна на една и обективна оценка. Следователно, за непредубедени оценки и

Тъй като ние искаме да бъде избран така, че да се сведе до минимум разсейването, ние трябва да се сведе до минимум време. Този проблем може да бъде решен или графично или чрез използване на диференциално смятане. Във всеки случай се постига минимално кога. Следователно, също така равна на 0,5.

По този начин ние показахме, че средната проба е най-ниската сред дисперсията оценки от този тип. Това означава, че той има повече "компресиран" вероятностно разпределение около истинската средна стойност и следователно (в вероятностен смисъл на думата), най-точна. Строго погледнато, средната проба - това е най-ефикасният оценител сред всички непредубедени оценители. Разбира се, ние показахме, че това е само случаят с двете наблюдения, но изводите са верни за проби от всякакъв размер, ако наблюденията не са независими една от друга.

Две забележки: първо, оценки на ефективността могат да се сравняват само когато те използват една и съща информация, като например един и същ набор от наблюдения на няколко случайни величини. Ако една оценка използва 10 пъти повече информация, отколкото от друга страна, то тогава може и да има малка разлика, но това би било погрешно да се помисли, че по-ефективна. На второ място, ние ограничаваме концепцията за сравнение на ефективността на разпределението на непредубедени оценители. Там се определи ефективността на обобщаване на концепцията за възможно сравнителни пристрастни оценки.