Размери и на базата на пространството за вектор - studopediya

В противен случай вектори се наричат ​​линейно независими.

От горните определения следва, че векторите са линейно независими, ако равенството държи само когато. и са линейно зависими, ако това равенство е изпълнено, когато поне един от номерата е различно от нула.

Ние можем да покажем, че ако векторите са линейно зависими, тогава най-малко една линейна комбинация от останалите. Обратното е вярно, че ако един от векторите се изразява линейно по отношение на другата, тогава всички тези вектори заедно са линейно зависими. В противен случай вектори се наричат ​​линейно независими.

От горните определения следва, че векторите са линейно независими, ако уравнение (8.2) е валидно само ако. и са линейно зависими, ако това равенство е изпълнено, когато поне един от номерата е различно от нула.

Пример за линейно независими вектори са две не-колинеарни, т.е. не успоредни една права линия, и вектора в самолета. В действителност, състоянието (8.2) ще бъдат изпълнени само тогава, когато. Защото, ако, например. и вектори и са колинеарни. Въпреки това, всяка равнина на трите вектори са линейно зависими.

Трябва да отбележим някои свойства на линеен вектор пространство.

I. Ако между векторите има нулев вектор, след това тези вектори са линейно зависими.

II. Ако част от векторите са линейно зависими, тогава всички тези вектори - линейно зависими.

Opredelenie.Lineynoe тримерно пространство се нарича, ако съществува линейно независими вектори и всеки от векторите вече са зависими. С други думи, на размера на пространството - максималния брой съдържаща се в него линейно независими вектори. Броят се нарича измерение на пространството и е обозначен с.

Определение. Комплект линейно независими вектори в наш тримерно пространство се нарича основа.

На следващата теорема притежава.

Teorema.Kazhdy линеен вектор пространство може да бъде представен по уникален начин като линейна комбинация на базисни вектори:

Това уравнение се нарича разлагане вектор в базата. и цифрите - координатите на вектор по отношение на тази основа. Чрез уникалността на разлагане на всеки вектор може да бъде еднозначно определени координати в определена база.

Очевидно е, че вектора нула има всички нулеви координати, както и вектора противоположна на тази - точно обратното в знак на координатите.

Teorema.Esli - система за линейно независими вектори във всеки вектор експресира линейно чрез. пространството е п-тримерно пространство. и векторите - това основание.

В основата на пространство вектор е независима система за линейно независими вектори на това пространство, количеството на които е равно. т.е. подбор система базисни вектори вектор пространство е неясна и може да се провежда в повече.

Ние често се срещне с промяната на променливи, в който старите променливи са линейно изразена чрез ново, например, при преместване от една база в друга пространство. Тази промяна на променливи обикновено се нарича своята линейна трансформация.

Линеен трансформация на променливите е променливи експресионна система чрез нова система за променливи чрез линейна хомогенни функции:

Линеен трансформация е напълно определя от размера на таблицата. съставена от коефициентите за. Тази таблица е съставена от елементи, наречени матрицата. и самата превръщането е пример на операция за матрица. Концепцията за матрица изисква по-подробно проучване, което ще бъде направено в следващия раздел.

Контролни въпроси към лекцията №8

1. Концепцията за евклидово пространство.

2. линейна зависимост и линейна независимост на вектори.

3. Понятията измерение и на базата на линейния пространство.

4. Линейни трансформация вектори.