Ортогонално база в евклидово пространство

Определяне .Vektory а, бÎE нарича ортогонална, ако тяхното скаларно произведение е нула.

Концепцията за ортогоналност може да се разглежда като обобщение на понятието за перпендикулярност.

1. Ако разгледаме векторите а, бÎE3, концепцията съвпада с концепцията за ортогоналност хоризонталността.

2. нула векторът е перпендикулярна на всеки вектор пространство Е, т.е. за всеки векторÎEÞ(А, В) = 0.

Определение. Система на вектори А1, А2, ..., AN евклидово пространство се нарича ортогонална система, ако векторите от тази система са взаимно перпендикулярни, т.е.

2. ортогонална система на ненулев вектор пространство Е е линейно независима система.

Sledstvie.Ortogonalnaya система n- ненулеви вектори е база в евклидово пространство Ен.

Определение. Основа на пространството евклидовата Ен, която е ортогонална система от вектори се нарича ортогонална база.

Теорема. Всеки наш тримерно евклидово пространство има правоъгълна основа.

Доказателство (процес ортогонализиране).

Вградена система от вектори е ортогонална база. # 143;

Opredelenie1. Векторът на En, дължината на който е равен на един се нарича нормализирана.

От определението на нормализирана вектор, че ако имаме някакъв ненулев вектор a¹q, вектор a1 на = takzhenormirovanny (|| || a1 = = = = = 1

Opredelenie2 .Change от вектор за вектор и А1 (чиято дължина е равна на една) е вектор нормализиране.

Opredelenie3 .Bazis Е1, Е2, ..., се нарича ортонормален EN En пространство, ако тя е ортогонална и цялото му вектор се нормализират, т.е. ние имаме следното:

Теорема. Във всеки евклидово пространство En има ортонормирани бази.

Доказателство: Известно е, че в пространството En там ортогонална bazisy.Pust B1, B2, ..., млрд - ортогонална база в пространството Ен. Ние разделят всеки вектор от неговата дължина и получаване на система от вектори.

Получената система от вектори е ортонормирани базисни prostranstvaEn като ?.

Теорема. е1 основа, e2, ..., EN пространство En ортонормален когато вътрешното произведение на всеки два вектора в пространството Ен е равен на сбора на продукти от съответните координати на вектори А и Б в тази база.

Теорема. Ако Е1, Е2. ... BG - En ортонормирана база на пространството, а след това-тото компонент на разлагане на всеки вектор и въз основа на даденото пространство ravnaskalyarnomu продукт вектор и вектор EI, т.е. равно на (а, EI).