Методи за решаване на алгебрични уравнения горе втора степен

Математическо образование получил в училището, е съществен компонент на общото образование и обща култура на съвременния човек. Почти всичко, което заобикаля човек по един или друг начин свързани с математиката начин. В днешно време, по-голямо внимание е обърнато на приложената естеството на темата. Решението на много практически проблеми се свежда до решаване на различни видове уравнения, които се нуждаят, за да може да се реши. Документът разглежда примери за решаване на уравненията на по-висока степен по-малко от известните методи. Работата ще бъде полезно и интересно за студенти от висшите класи в подготовка за изпитите.

За повечето уравнения предложи на изпитите, достатъчно познаване на основните методи за решаването им. Въпреки това, някои от уравнения може да бъде решен по различни начини, избор на най-рационалното или повече "интересно", демонстрирайки ерудицията и знанията на този въпрос.

Хипотеза. Овладяването на различни, включително и нестандартни начини за решаване на уравнения от степен по-висока от втората ще позволи на ученици най-правилно да се подготвят за изпити или просто разширяват своето математическо перспектива.

Алгебрични уравнения горе втора степен

Методи за решаване на уравненията

Илюстрирана със по-малко разпространените начини за решаване на уравненията на по-висока степен.

• Помислете за необичайни начини за решаване на уравнения чрез въвеждане на нова променлива: метода на symmetrization, въвеждането на две променливи, методът за въвеждане на параметър, метода на квадратно уравнение корен

• Помислете за нов метод за изолиране на точен квадрат

• Показване на примери за прилагането на метода на геометрична прогресия

• Обяснете примера на същността на метода на умножаване на уравнението на функцията

• Покажете пример за използване суперпозиция на функции за решаване на уравнения

Методът symmetrization

Уравнение, стойностите на които имат център на симетрия.

Използвайте маска. symmetrizes които отделните двойки условия. В резултат на това заместване отличава термини, които се различават само по знак.

Решение. Имайте предвид, че условията на нулите: 0; -2; -4 и -6 са симетрични по отношение на броя на - 3. Нека х = Т-3. След това (т-3) (т-1) (т + 1) (т + 3) = 0 +16

(T²-9) (t²- 1) 16 = 0 t⁴- 10t² + 25 = 0, = t₁, Тг = - X, = -3, x₂ = -3

Решение. Нека х = т-1. след това

Пример 3. (Х-7) ⁴ + (Х-9) ⁴ = 16

Решение. Това е удобно да се направи смяна Х = т + 8.

Използване на формула (а ± б) ⁴ = a⁴ ± 4a³b + 6a²b² ± 4ab³ + b⁴, получаване t⁴ + 6t²-7 = 0, т = ± 1.

Обръщайки се към променливите х, или получаване. т. е., или X = X =.

Решение. Представяме замяна. Нека у = х + 4, тогава

Връщайки се към заместването: х + 1 = 4 или х + 4 = -1

Методът за въвеждане на две променливи

Уравнението води до форма, която очевидно е въвеждането на две променливи. При което се получава хомогенен уравнение или система от уравнения. Пример 1.

Решение. Нека р = (х h²- 1) ², Q = Х. След p²- 10pq + 9q² = 0

Ние се получи хомогенна уравнение от втори ред по отношение на р и р. Имайте предвид, че Q ≠ 0 (0 - не е корен на основния уравнение). Поради това може да се раздели на q².

Въвеждаме нова променлива. Ние получи квадратно уравнение във вариабилния т.

t²- 10тон + 9 = 0, ние откриваме t₁ = 1, Тг = 9.

Сега ние трябва да се реши уравнението:

Метод за въвеждане на параметър

Понякога по време на разлагане на полином факторинг помага метод за въвеждане на параметър.

Решение. Помислете полином с параметър. в който, когато полином от лявата страна на предварително определен уравнение, т. е. уравнение става

Ние образуват квадратно уравнение по отношение на:

Чиито корени - и.

Разширяваме от лявата страна на уравнението на фактор

Метод корени на квадратно уравнение.

Въвеждаме нова променлива, уравнението става квадрат по отношение на новата променлива.

ПРИМЕР 1 h⁴ 3h² + + 20X - 96 = 0

Решение. Нека да превърне това уравнение на площада на нова променлива тон. Нека т = 10. След 20 = 10 тона. 96 = T² - 4 и уравнението става квадрат по отношение т: T² - 2 t- (h⁴ + 3h² + 4) = 0

Намираме дискриминантата на това уравнение:

D = (-2x) ² + 4 (Х + 3x² + 4) = Х + 16x² 16 = (2x² + 4) ²

Следователно, корените на уравнението:

t₁ = Х + х + 2, Тг = -x ² + х -2

Остава да се реши двете уравнения:

1) Х + х - 8 = 0; 2) Х - х + 11 = 0

Решение. Нека т =. След 2 = T². Ето защо, това уравнение може да бъде представен, както следва:

Нека се обърнем към променливата х »:

Сменете коефициент -7:

Помислете за това уравнение като квадратното роднина. където

геометричен метод

Ако лявата страна на уравнение Р (х) = 0 е сумата от първите условията на геометрична прогресия, тя може да бъде трансформирана с помощта на формулата:

Пример 1. 8x³ + 4x² + 2х + 1 = 0

Решение. В лявата част на уравнението - сумата от първите четири членовете на геометрична прогресия, където. Следователно, сумата от членовете е равна (Забележете, че х = 0.5 не е корен на уравнението) и това уравнение е еквивалентно на

Решение. - членове на геометрична прогресия (). Сумата от първите пет от членовете му е равен. По този начин, началната уравнението става

(X = 1, х = -1 - не са корените на уравнението).

Отговор: няма корени

Начин на изолиране на точен квадрат

Изберете добра площади и оценка на получения израз да се премести в една система.

Пример 1. x⁶ + Х-2x³-2x² + 2 = 0

Решение. Разпределяне на добра площади:

Очевидно е, че това уравнение е еквивалентно на системата:

2. ПРИМЕР 4 (Х-Х + 1) (Х-2х + 2) = 3

Решение. Имайте предвид, че:

Тъй като условието е (х), г (х) в> 0 и = бв изпълнена след първоначалното уравнение е еквивалентно на системата

Отговор: Системата все още няма решения.

Умножаването на уравнението от функцията

Двете части на алгебрични уравнение се умножават по полином от неизвестното. Трябва да се помни, че възможната поява на ненужни корените на полином уравнението които са умножени. Ето защо е необходимо да се умножи по полином, който все още няма корени и да получите еквивалентно уравнение. или умножено по полином с корени. След това всеки от тези корени е необходимо да се замени в оригиналния уравнение и да определи дали това е броят на нейните корени.

Решение: Като умножим двете страни на уравнението с полином. все още няма корени, ние получаваме уравнението:

Последното уравнение може да се запише като:

Ясно. че това уравнение все още няма реални корени, така че те също са дадени уравнение не го прави.

Отговор: няма никакви решения.

Решение: Като умножим двете страни на уравнението с полином, получаваме уравнението:

Това уравнение има симетрична уравнение от четвърта степен. Тъй като х = 0 не е корен на уравнението след това, разделяне на двете страни чрез прегрупиране и неговите членове, ние получаваме уравнението е еквивалентен на:

Определящият. презапис уравнението под формата

Корени. и. Поради това, последното уравнение е еквивалентно на снимачната площадка на уравнения:

Определяне всеки от тези уравнения, ние получаваме уравнението четири корени, и по този начин първоначалната уравнението:.

Тъй като основата е външен за даденото уравнение. тогава можем да получите отговор

Използване на функциите за наслагване

Понякога можете да намерите корена на уравнението, ако обърнете внимание, че функцията на която е в една част от уравнението е суперпозиция на някои от по-прости функции.

Решение. Означаваме. предварително определена уравнение може да бъде пренаписана, както следва.

Сега очевидно, ако - коренът на уравнението. и корена на уравнението.

Корените на уравнението, има

От това следва, че оригиналното уравнение има корени. го Пренаписвайки под формата и разделяне на полином от полином. получаваме:

От това следва, че корените на дадената формула, заедно с и. Те също са корените на уравнението. т. е. броят и

Математика, както и всяка друга наука не стои. Наред с развитието на обществото се променят нагласите и нуждите на хората, нови мисли и идеи. Въпреки това, някои неща остават същите: необходимостта да бъде в състояние да пиша и решаване на уравнения.

По време на хипотезата е потвърдена: овладяването на различни, включително и нестандартни начини за решаване на уравнения от степен по-висока от втората ще позволи на ученици най-правилно да се подготвят за изпити или просто разширяват своето математическо перспектива.