Местна De Moivre

Материали за урока
Таблица Gaussian стойности функция

Да разгледаме последователност от $ п $ независими експеримента, всеки от които $ A $ събитие може да се случи с вероятност р $ $, или не се случи - с вероятност $ р = 1-р $. Се означава с P п (к) вероятността, че събитието $ A $ ще точно $ к $ пъти от $ п $ възможно.

В този случай, с магнитуд P н на (к) може да се намери чрез теоремата на Бернули (виж клас "схема на Бернули Примери за решаване на проблеми .."):

Тази теорема работи чудесно, но има и недостатък. Ако $ п $ е достатъчно голям, а след това се намери стойността на P п (к) става невъзможно поради огромното количество изчисление. В този случай, работещ местен теорема де Moivre - Лаплас. която да ни позволи да се намери на приблизителна стойност вероятност:

Местна Теорема де Moivre - Лаплас. Ако Бернули номера $ N $ е голям, а броят $ р $ е различно от 0 и 1, а след това:

Ф е функция (х) се нарича Gaussian функция. Нейните стойности са изчислени за по-дълъг период от време и са изброени в таблицата, която може да се използва дори и за тестове и изпити.

Gaussian функция има две свойства, които трябва да се имат предвид, когато се работи с таблицата със стойностите на:

φ (- х) = φ (X) - функция Гаус - дори;
За по-големи стойности на х, ние имаме: φ (х) ≈ 0.

Местна Теорема DeMoivre - Лаплас приближение дава отлична Бернули формула, ако броят на проучвания н е достатъчно голяма. Разбира се, фразата "броят на проучвания е достатъчно голям" е доста относително, и различни източници се наричат различни номера. Например:

Често отговаря на изискването: п р · · р> 10. Може би това е минималната граница;
Други предлагат да работи в тази формула само за $ п> 100 $ и п · р · р> 20.

По мое мнение, просто да погледнете състоянието на проблема. Ако е ясно, че теоремата на стандартната Бернули не работи поради големия размер на изчисление (например, никой няма да вземе номера 58 или 45!), Чувствайте се свободни да използват местната теорията Moivre - Лаплас.

Освен това, колкото по-близо стойността на вероятност $ р $ и $ р $ до 0,5, по-точно формула. И обратно, когато граничните стойности (където $ р $ близо до 0 или 1) Местна Теорема DeMoivre - Лаплас дава голяма грешка, това е значително по-различни от теоремата на Бернули.

Но бъдете внимателни! Много уроци по висша математика себе си са прави в такива изчисления. Фактът, че функцията на Гаус е заместен доста сложен номер, съдържащ аритметика корен квадратен и фракция. Този номер определено трябва да се намери преди замяната на функцията. Помислете за всички конкретни цели:

Задача. Вероятността за раждането на едно момче е 0.512. Намерете вероятността, че сред 100 деца ще бъде точно 51 момче.

Така че, всички изпитвания на Бернули опитите п = 100. В допълнение, р = 0512, р = 1 - р = 0488.

Тъй като п = 100 - е достатъчно голям, ние ще работим за местното теорема DeMoivre - Лаплас. Имайте предвид, че п · р · р = 100 · 0512 · 0488 ≈ 25> 20. Ние имаме:

Както закръглена стойност на п · р · р да е цяло число, отговорът е възможно да се елиминира: 0,07972 ≈ 0,08. Имайте предвид, останалата част от цифрите просто не смисъл.

Според Бернули, п = 200, р = 0,02, р = 1 - р = 0,98. Имайте предвид, че п = 200 - не е слаб номер, така че ние използваме местния теорията Moivre - Лаплас. За да започнете, ние откриваме н · р · р = 200 · 0,02 · 0,98 ≈ 4. Разбира се, 4 - то е твърде малка, така че резултатите ще бъдат неточни. Независимо от това, ние имаме:

Заоблени отговор до два знака след десетичната запетая: 0,17605 ≈ 0,18. За да се вземе под внимание повече знаци все още няма смисъл, тъй като ние заоблени н · р · р = 3,92 ≈ 4 (до точната площад).

Задача. Магазин получи 1000 бутилки водка. Вероятността счупена бутилка по време на транспорта, е 0,003. Намерете вероятността, че в магазина ще получи точно две счупени бутилки.

Според Бернули имаме: п = 1000, р = 0,003, Q = 0997. Следователно п · р · р = 2,991 ≈ 1,73 2 (качват точност перфектен квадрат). Тъй като броят п = 1000 е достатъчно голям, заменен всички номера в местен теорема DeMoivre формула - Лаплас:

Ние нарочно оставят само един знак след десетичната запетая (в действителност, ще има 0,1949.), Първоначално се използва като доста груби изчисления. По-специално: 2991 ≈ 1,73 2. Три числител вътре произхожда Gaussian функция експресия п · р = 1,000 · 3 = 0.003.

Безплатна Подготовка за изпита 7 прости, но много полезни уроци + домашна работа