Матрицата за трансформация без да се променя неговия ранг - studopediya

Твърди се, че чин матрица А Ранка размер на m х п е равно на R. ако има най-малко един не-единствено число подматрица на поръчката R, докато всеки подматрица на по-висш порядък е единствено число.

Ако това определение е добро от гледна точка на детерминанти, тя ще изглежда по следния начин:

Матрица с размер m х п има rangr. ако има поне една ненулева R детерминанта на ред, тогава детерминанта на всяко подматрица висок порядък нула.

Очевидно е, че Ранка .

За да се изчисли ранга на матрицата може да се използва метод за елементарни преобразувания на редове и колони - точно по същия метод, който се използва за изчисляване на детерминанти. Уместно е да се припомни, основният метод на работа:

1. Превключване редове или колони.
2. Умножение ред или колона от не-нулево число.
3. Добавянето на ред (колона) на друг ред (колона), предварително умножава по всяко цяло число.
4. Нула ред или колона се заличава.

Целта е да елементарен трансформационната матрица за образуване на стъпка, т.е. Quasitriangular на ум - като този, показан по-долу:

.

Очевидно е, че определящ фактор за трети ред на елементите на първите три редовете и колоните, различни от нула, и ранга на матрицата е 3:

Имайте предвид, че всяка матрица може да бъде представен от еквивалентни трансформации (от гледна точка на неизменност ранг) да блокира форма

където Е - матрица идентичност.

Например, за матрица трансформация (1) с форма достатъчно добави към втората, третата и петата колони от първата колона е подходящо избран koeeffitsientami че ни доведе до матрицата

Всъщност, резултатите от тези промени са много прости: всички позиции на първа линия - с изключение на първата - елементите са се обърнали към нула.

След добавянето на втората колона на третия, четвъртия и петия - с подходящо избрано koeeffitsientami получи

Следваща разделение всеки ред в съответния коефициент и нулеви изтриване графи:

.

В разглеждания матрица е дадено по-горе изглед.

Намерете ранга на матрицата

Решение. Директен изчисление удостоверява, че Det A = 0. Следователно, ранг А <4.

Въпреки това, има малка трети ред, различен от нула. Така непълнолетен е, например, определящ фактор за елементите на първия, втория и третия ред на втора, трета, четвърта колона.

Следователно, ранг А = 3.

Матрицата за трансформация без да се променя неговия ранг

Да разгледаме следния елементарен матрицата:

1. Превключване редове или колони.
2. Умножение ред или колона от не-нулево число.
3. Добавянето на ред (колона) на друг ред (колона), предварително умножава по всяко цяло число.

Теорема. Начални трансформации не се променят с ранг на матрица.

За да се докаже теоремата е достатъчно да се докаже, че в резултат на елементарни преобразувания нула детерминанта е нула, и различна от нула - различна от нула.

1. Замяната на редове или колони на матрицата само променя знака на определящ фактор.
2. Когато се умножи ред (колона) на матрицата с ненулева брой детерминанта се умножава по този номер.
3. Детерминантата не се променя, ако един ред (колона) се добавя друг ред (колона).

По този начин, в резултат на елементарни преобразувания единствено число матрица са единствено и неособена матрица - неособена матрица.

1. Намерете ранга на разтвора на матрица. Изважда от третия ред първи и четвърти ред: Ако сега се добавя трета линия, умножена по (-2) (-3) и 2, съответно, с другите редове в четвъртата колона показва максималния възможен брой нули След изваждане от четвъртия ред на първия ред и след това да добавите втора линия, получена: Поставяне на нула низ и завършени тази реализация, тъй като стана ясно, че има и трети ред под-матрица, чиято детерминанта не е нула, и по този начин не е от нула повече детерминанти Висок ред: Така ранга на матрицата е равна на 3.

2. Намерете ранга на разтвора на матрица. За получаване на максималния възможен брой нули в първата колона на матрицата, се добавя втора линия на първия, третия и четвъртия редове, тя предварително се умножи по (-2), (4) и (-7), съответно: След изваждане от третия ред на първа линия и от четвъртия - два пъти повече от първия: ясно е, че ранга на тази матрица е равно на 2, тъй като е станало ясно, че е налице различна от нула непълнолетен на втория ред, и в този случай не е от нула непълнолетни лица от по-висок ред. Въпреки това, ние ще извършва по-нататъшно превръщане на получената матрица, с цел да се демонстрира някои полезни техники. Ако сега се добави първата колона на втората, третата, четвъртата и петата - с подходящо подбрани коефициенти, на втория ред на колоните, които имат нулеви елементи: Така, ако колоната с единственото ненулево елемент в един ред, всички останали елементи от този ред може да се заменят с нули. След разделяне на втората колона при (-11) и след това се добавя със съответните коефициенти на третата и петата колони: В заключение за обмен на първия и втория ред и напиши получената матрица в блок форма: Очевидно, редът ранг е матрицата на идентичност Е.

3. Намерете ранга на разтвора на матрица. За получаване на максималния възможен брой нули в първата колона на матрицата, се добавя втора линия на първия, третия и четвъртия редове, съответно с коефициентите (-2), (4) и (-3): Използване на първата колона, ние получаваме нули във всички други колони позиция на втория ред: Добавяме последния ред на първия и третия - коефициентите 3 и (-5), съответно: Използването на втората колона, нули заменят всички елементи на четвъртия ред изчезва а35 елемент (с изключение на втората!). добавяне към третия ред на първия ред с коефициент от 6: Разделете последната колона 4 и с негова помощ се получи максималния възможен брой нули в първия ред: След трансформация е съвсем очевидно, :. , , Рангът на матрицата е равна на 4.