итерационни методи

С голям брой неизвестни на линеен системата уравнения Гаус схема на елиминиране, което дава точно решение, става доста трудно. В този случай, за да открие корените лесно да се използва приблизителни итерационни методи. Помислете за метода на повторение (метод Зайдел).

Като се има предвид система

Ако приемем, че диагоналните условия - коефициентите са различна от нула

(I = 1, ..., N), за решаване на уравнение система по отношение на първата , вторият - във връзка си т.н. Тогава ние се получи еквивалентен система:

Системата (2) се постига чрез последователни приближения. Тъй като нула сближаване може да приеме всяка стойност. Често използвам това като колона на свободни условия.

Следващото сближаване се изчислява чрез заместване на стойностите

в дясната част на уравнения (2). В матрична форма, първо приближение, се изразява в:

,

второ приближение се изчислява чрез първата:

.

Ако последователността на приближения

Тя е с ограничение

,

тази граница е разтвор на (2) и, следователно, на системата (1).

Пишем формулата приближения в разширена форма:

Методът на последователни приближения се определя с формула (3) се нарича с повторение. Итеративния процес клони добре, т.е. брой приближения, необходими за получаване на кореновата система (1) с определена точност е малък, ако елементите на матрицата

ниска стойност. Т.е. за успешното прилагане на процеса на повторение диагоналните елементи на системата модули (1) трябва да бъде голям, в сравнение с не-диагонални коефициентите на модулите на системата. Стойностите на свободните членове на системата (1) върху резултата на решението не са засегнати.

Да разгледаме система от линейни алгебрични уравнения с три неизвестни:

Ние избираме от дясната страна на всеки уравнение диагонал неизвестен

(Първоначална) Подходът на нула за решаване на някои от ценностите, които избират непознатото и да ги споделите

. Заместването на начално приближение към системата (2)

Системата (3) за изчисляване на неизвестното

исе използва само, че изчислените стойности на неизвестните в текущата итерация.

Като цяло, в това повторение к- система тя изглежда така:

Това означава, че текущата стойност на неизвестното веднага се използва за последващи изчисления. Този метод се нарича повтарящ се начин на Гаус - Зайдел.

Точна разтвор търси от итеративния процес () ще бъде получено в 5-6-ти итерация.

В случай на система от уравнения н к - тата сближаване с решение би било:

Неколкократно процес продължава, докато всички

не ще се затвори. критерий близост може да бъде условие

Помислете за начина на въпроси за конвергенция. Като се има предвид система от две уравнения на

,

От (1) и (3) получаваме

От последното уравнение следва:

Продължавайки, можете да получите:

От това следва, че процеса на повторение на Гаус - Зайдел

клони, ако подходът към к- итерация ще се различава значително от първото сближаване. Това е възможно само при условие:

,

което означава, че диагоналните елементи на предимство пред останалите.

Предимството на метода на елиминиране е, че е ограничен и теоретично може да се използва за решаване на всеки не-дегенеративен система от линейни алгебрични уравнения. Повтарящ метод на Гаус-Зайдел клони само за специални системи от уравнения. Въпреки това, ако итеративен метод клони, за предпочитане е да:

време изчислителни

една итерация, а за да се избегне време е пропорционална метод, ако решението е получил по-малко от Зан повторения, повтарящия метод за общите разходи ще бъдат по-ниски.

закръгляване грешка за итеративен метод по-малко.

големи системи от уравнения не могат да бъдат решени точно се използва прекия метод.