Групи и алгебра

1.2 групи и алгебра. основни понятия

Дефиниране на група

Нека набор от елементи на G G1. g2. GN. със следните свойства:
  1. Определяне на закона на умножението на елементите GI GJ = GK. и ако GI. GJ G, след GI GJ = GK G,
    I, J, L = 1, 2. п.
  2. Законът на асоциативност GI (GJ GK) = (GI GJ) GK.
  3. Налице е неутрален елемент д, EGI = GI. I = 1, 2. п.
  4. Има обратен елемент грама и -1. г и -1 GI = д, J = 1, 2. п.

След това на набор G бъде група G1 елементи. g2. GN

Като прост пример, помислете за въртенето на самолета. Определяме набор $ на всички ротации през ъгли # 966;
  1. Умножение право в този случай - е добавянето на ъгли: # 966; 1 + # 966; 2 = # 966; 3 F.
  2. асоциативен закон се изписва като ( # 966; 1 + # 966; 2) + # 966; 3 = # 966; 1 + ( # 966; 2+ # 966; 3).
  3. Елементът на идентичност в този случай - на ъгъл на завъртане 0 (2 π п).
  4. Обратните елемент в този случай, обръщане на ъгъл - # 966; (2 π п).

Така въртене около ос, перпендикулярна на равнината на избраната форма на групата.
Разглеждане на ротационни оси X, Y, Z, определяща Декартова координатна система в триизмерното пространство под ъгъл # 952; 3 в х у равнина около оста Z:

където # 949; ijk - абсолютно antisymmetric трети ранг. Имайте предвид, че матрицата Al л = 1, 2, 3, antisymmetric, докато -orthogonal матрица Rk, т.е. Когато Т означава икона транспониране. Ротации може да бъде напълно определен от генератори Al л = 1, 2, 3, с други думи, група на 3-измерни ротации (като наистина, всеки непрекъснат група с до отделни трансформации) са напълно характеризира чрез определяне алгебра. т.е. определяне Al генератори. л = 1, 2, 3, и техните линейни комбинации комутационни отношения.

определение на алгебрата

L - Легнете алгебра над областта на реални числа K, ако:
(I) L е линейна пространство над К (х L са дефинирани за умножение на броя К)
(II) за X, Y L определено колектор [X, Y], също принадлежащи към L, където [X, Y] има следните свойства:
[X, Y] = [х, у], [X, Y] = [х, у] с К и [x1 + х2. Y] = [x1. Y] + [х2. Y],
[X, Y1 + y2] = [х, Y 1] + [X, Y 2] за всички X, Y L;
[X, X] = 0 за всички X, Y L;
[[X, Y] Z] + [[Y, Z] х] + [[Z, X] Y] = 0 (Jacobi идентичност).