Границата на числова последователност, платформа за съдържание
3. Якост на цифровата поредица
3.1. Концепцията на цифров последователност и функция на природен аргумент
Определение 3.1. Цифрова последователност (в по-късен последователност) се нарича подредени бройна набор от числа
Обърнете внимание на две точки.
1. Последователността на безкрайно много номера. Ако краен брой цифри - това не е последователността!
2. Всички числа в ред, който е разположен в определен ред.
В бъдеще, последователността често ще използва съкращението хп>.
Над последователности може да се извърши определени операции. Помислете за някои от тях.
1. умножение на броя последователност.
Последователността в х хп> - последователност с елементи в х Xn>, т.е.
2. събиране и изваждане последователности.
или, по-подробно,
3. умножение последователности.
4. Разделяне на последователности.
Естествено, се приема, че в този случай всички ин ¹ 0.
Определение 3.2. Xn на последователност> се нарича ограничена по-горе, ако.
Xn на последователност> се нарича ограничена по-долу, ако последователността се нарича ограничена ако е ограничена както по-горе и по-долу.
3.2. Якост последователност. Безкрайно последователността
Определение 3.3. номер се нарича границата на последователността хп> като п подходи безкрайност ако
За този факт, следните символи:
Ще подчертая, че N зависи от д.
Те казват, че ако.
Те казват, че ако.
Определение 3.4. Xn на последователност> се нарича безкрайна ако (тоест, ако).
3.3.Beskonechno малък последователност.
Определение 3.5. А последователност е безкрайно, ако това е, ако.
Безкрайно последователности имат следните свойства.
1. сума и разлика безкрайно последователности също е безкрайно последователност.
2. безкрайно последователност е ограничена.
3. Продуктът от безкрайно последователност последователност, ограничена е безкрайно последователност.
4. Ако Xn> - безкрайно голяма последователност, след това, като се започне с някои Н. хп последователност>, и е безкрайно последователност. Обратно, ако хп> - безкрайно хп последователност и всички различни от нула, тогава хп> е безкрайно голяма последователност.
3.4.Shodyaschiesya последователност.
Определение 3.6. Ако има краен срок, след Xn последователности> се нарича конвергентна.
Конвергентна последователности имат следните свойства.
1. Последователността на конвергентна е ограничена.
3.5.Predelny скок на неравенствата.
Теорема 3.1. Ако, като се започне с някои Н. всички х н ³ б. след това.
Следствие. Ако, като се започне с някои Н. всички х н ³ ин. след това.
Забележка. Имайте предвид, че ако, като се започне с някои Н. всички хп> б. нещо, което е на границата строго неравенство може да се движи в небрежно.
Теорема 3.2. ( "Squeeze теорема") Ако се изхожда от определен N. следните свойства
3.6. Якост монотонна последователност.
Определение 3.7. Xn на последователност> се нарича монотонно увеличава, ако за всяка NxN + 1 ³ хп.
Xn на последователност> наречена строго монотонно увеличаване ако за всяка NxN + 1> хп.
И двете от тези случаи са комбинирани символ Xn -.
Определение 3.8. Xn на последователност> се нарича монотонно намалява, ако за всяка NxN + 1 £ хп.
Xn на последователност> се нарича строго монотонно намалява, ако за всяка NxN + 1 И двете от тези случаи са комбинирани символ Xn ¯, Теорема за наличието на границата на монотонно последователност. 1. Ако Xn последователности> монотонно увеличава (намалява) и е ограничена по-горе (по-долу), тогава тя има ограничен срок на supxn> (infxn>). 2 Ако Xn последователности> монотонно увеличава (намалява), но по-горе (по-долу) не се ограничава, че има ограничение от + ¥ (- ¥). Въз основа на тази теорема се оказа, че съществува така наречената забележителна граница Да предположим, че има хп последователност> = X1, Х2, Х3,.>. Разглеждане на последователността на N1, N2, N3. където а) всички Ni - положителни числа; и разгледа последователността. Това се нарича последователност на Xn последователности>. Теорема 3.3. Ако Xn последователности> клони и неговата граница е. тогава всяка последователност също клони и има същата граница. Ако х н> - безкрайно голяма, а след това всяка последователност има и безкрайно голяма. Лема Болцано - Вайерщрас. 1 може да извлече последователност От всяка ограничена последователност, която се доближава до краен предел. 2. може да извлече безкраен последователност от всяка неограничен последователност. На базата на тази лема се оказа един от основните резултати от теорията на ограничения - Симптом конвергенция Болцано-Коши. За да има последователност от хп> съществувал краен срок, е необходимо и достатъчно условие Последователност отговаря това свойство се нарича основна последователност, или последователност, схождащи по себе си.