фигури на преобразуване

I. Преобразуване - изместването на всяка точка от фигурата по някакъв начин, и получаване на нова форма.

II. Видове превръщане в пространството като, движение хомотетия.

фигура реализациите F се нарича трансформация сходство, тази трансформация, ако разстоянието между точките се променят в същия брой пъти, т.е. за всеки две точки от X и Y оформя F и точка X ', Y "форма F', в която се движи, x'y '= к * XY.

мащабиране свойства: 1. Сходство превръща линии на линии, полу-линии - в половин дължина - в сегменти.

2. сходството запазва ъглите между половин линии

Подобие превръща самолетите в равнината.

Две фигури се казва, че подобен ако те се превръщат един в друг чрез трансформация сходство.

Dil - простият трансформация по отношение на центъра О к хомотетно коефициент. Тази трансформация, която се превръща произволна точка X 'лъч ОХ, така че ОХ' = к * ОХ.

хомотетия имот: 1. хомотетия трансформира отнема всеки самолет не, минаваща през центъра на разширяване в паралелна равнина (или сами по себе си, когато к = 1).

Доказателство. Наистина, нека O - Хомотетия център и - всеки самолет не минаваща през О. Обмислете всяка една линия AB в равнината а. Хомотетно трансформация трябва да точка А до точка А "на OA лъч, и точка В до точка Б 'на OB на лъча и ОА" / к = ОА, OB "/ OB = к, където к - коефициентът на разширение. От това следва, от сходството на триъгълника АОВ и A'OB ". От сходството на триъгълника да бъде равен съответните ъгли свръхактивен пикочен мехур и OA'B ", което означава, че успоредни линии AB и A'B". Нека сега да вземе различно линия AC в самолет а. От само себе си с хомотетия и успоредна линия а'с ". Когато се счита за хомотетия apereydet самолет в самолет ", минаваща през линии A'B", а'с ". От "|| AB и а'с" A'B || AC, а след това на теоремата на две пресичащи се линии на равнина, успоредна с съответно различни плоскост, пресичаща линии, а и "да са успоредни на равнината, както се изисква.

Движение - трансформацията на една фигура в друга, ако тя запазва разстоянието между точки, т.е. превежда всеки две точки X и Y на една цифра по отношение на друга фигура X. Y, така че Y = X XY

Особености движение: 1. точки върху линията, когато движението се превръща в точки по права линия, и съхранени процедури за тяхната взаимна договореност. Това означава, че когато А, В, С, лежи на линията, преминете към точка А1, В1, С1. Тези точки също лежат на една права линия; ако точка Б е между точките А и С, след това точка В1 е между точките А1 и В1.

Доказателство. Нека точка Б AC линия е между точките А и В. Ние показваме, че точките А1, В1, С1 са колинеарни.

Ако точката A1, B1, C1, не е регистрирана по линията, те са върховете на триъгълника. Затова A1C1

В момента има противоречие. Следователно, B1 точка се намира на A1C1 на линия. Първото изявление на теоремата.

Ние сега се покаже, че В1 се намира между А1 и С1. Да приемем, че А1 е между точките В1 и С1. Тогава A1B1 + A1C1 = B1C1, и следователно, AB + AC = BC. Но това противоречи на неравенството AB + BC = AC. Следователно, А1 точка не може да бъде между точките В1 и С1.

По същия начин ние доказваме, че C1 точка не може да лежи между точките A1 и B1.

1. Поради трите точки А1, В1, С1, един е между другите две, след това може да бъде само една точка В1. На теоремата се доказва.

2. При движение направо в прави линии, полу-линии - в половин дължина - в сегменти

3. При шофиране запазва ъглите между половинките линии.

Доказателство. Нека AB и AC - два полу-линии, произхождащи от точки А, не лежат на една права линия от него. При шофиране половинките линии отиват в някои полу-линии A1B1 и A1C1. Тъй като движението поддържа дистанцията, триъгълници ABC и A1B1C1 са равни на основата на третото равенство на триъгълници. От равенството на триъгълника да бъде равен ъгъл BAC и B1A1C1, както се изисква.

4. Движението се превръща в самолет самолет.

Нека докажем този имот. Нека един - произволна равнина. Забележка него всеки три точки A, B, C, не лежат на една линия. Чрез тях "самолет.

Ние показваме, че когато разглежда движението в равнина, влиза в "самолет.

Нека X - случайна точка в равнината а. изготвят чрез него всеки в равнината на, ABXC пресичащи се триъгълника на две точки Y и Z. Директни и да се премести, докато се движи в определена линия ". Точка Y и Z ще се движат по линията точка на Y 'и Z ", принадлежащ на триъгълника A'B'C", и по този начин, със самолет ".

Така режисира "лежат в една равнина." Точка X, докато се движат в точка X "линия", а оттам и на равнината на ", както се изисква.

В пространството, както и в самолета, две цифри, се казва, че е равна, ако са съчетани движение.

III. Видове Предложение: симетрия около точка симетрия по отношение на симетрия на линия по отношение на равнината на въртене, движение, успоредно на превода.

Симетрия по отношение на точката

Нека G - фиксирана точка и X - случайна точка в равнината. Ние се съобразяват с продължаването на сегмент OX на точка O сегмент говедото на ', равна на ОХ. Точка X 'се нарича X точката на симетричен около точка О. симетричен на точка до точка О, самото начало е О. Очевидно е, че точка симетрично на точка X', е точка X.

фигури преобразуване на фигура F F ', където всяка точка X движи до точка X', са симетрични по отношение на дадена точка О, наречени трансформация точка симетрия по отношение на О. В тази фигура F и F 'се наричат ​​симетрични спрямо точка О.

Ако симетрия трансформация по отношение на точката О F нуждае от форма, тя се нарича централно симетрична и точка О се нарича център на симетрия.

Например, един успоредник е централно симетрична фигура. Неговият център на симетрия е пресечната точка на диагоналите.

Теорема: Преобразуване на симетрия по отношение на точка на движение.

Доказателство. Нека X и Y - две произволни точки на фигурата F. преобразуване симетрията за точка O ги преобразува в X 'и Y' точка. Помислете триъгълници XOY и X'OY ". Тези триъгълници са равни на основата на първия триъгълник равенството. Те включват ъгли О са вертикално, така и ОХ = OX ", OY = OY ', по дефиниция, симетрия по отношение на точката О. От равенство на триъгълници трябва да бъде равенство на: XY = x'y. Това означава, че симетрия по отношение на точка О е движение. Това доказва теоремата.

Симетрия по отношение на права линия

Нека г - фиксирана линия. Обърнете произволна точка X и п AX капка перпендикулярна линия г. На продължението на перпендикуляра от точка А отлагат AX сегмент ", равна на AX на сегмент. Х "се нарича точка симетрична точка по отношение на линията Х ж. Ако X се намира на линията г, а след това е симетрична точка е самата точка на X. Очевидно е, че точка симетричен до точка Х ", има една точка X.

фигури преобразуване на фигура F F ', където всяка точка X се превръща в точка X ", която е симетрична по отношение на дадена линия д, наречени трансформация симетрия по отношение на права линия грама. В този случай, цифрите F и F 'се наричат ​​симетрични по отношение на права линия гр.

Ако трансформация симетрия ж отнема сравнително прав F фигура по себе си, тази цифра се нарича симетрична по отношение на една права линия г, и права линия грама се нарича ос на симетрия на фигурата.

Например, линии, минаващи през пресечната точка на диагоналите на правоъгълника, успоредна на страните му, правоъгълника е оста на симетрия. Директен да лежи по диагонал ромб е неговата ос на симетрия.

Теорема: Преобразуване на симетрия по отношение на движение по права линия.

Доказателство. Да вземем дадена линия на оста у на Декартова координатна система. Нека произволна точка А (х; у) F фигури продължава до точка А '(х; у) фигура F'. От определението на симетрия по отношение на отсечка, която сочи А и А ', равен на ординатата и абсцисата са различни само в знак: х' = -х.

Вземете две произволни точки А (х; у) и В (х; у). Те ще отидат в точка А '(-x; у) и B' (-x; у).

A'B'2 = (- х2 + х1) 2+ (y2-у1) 2

Това показва, че AB = A'B ". Това означава, че превръщането на симетрия по отношение на права линия е движение. Това доказва теоремата.

Симетрията около равнината

Нека един - всяка фиксирана равнина. От X фигури пропуснете XA перпендикулярна на плоскостта на и неговото продължаване след точка Aotkladyvaem сегмент брадва ", равна на ХА. Точка X 'се нарича симетрична точка по отношение на равнина X А, и превръщането което го превръща в симетрична точка X X ", се нарича трансформация спрямо равнината на симетрия на.

Ако X лежи в равнината на, се приема, че X навлиза в. Ако симетрия трансформация по отношение на равнина фигура превръща в себе си, на фигурата се нарича симетрична спрямо равнина, и равнина се казва симетрия равнина на фигурата.

въртене на равнината за дадена точка е движение, в която всеки лъч с произход от точка завърта на същия ъгъл в една и съща посока.

Това означава, че ако въртенето за точка О се премества в точка X ", на вола и OX лъчите образуват същия ъгъл, независимо точка X. на този ъгъл се нарича ъгъл на въртене. Конвертиране на форми чрез завъртане на самолета нарича още на търна.

Паралелно трансфер в космоса

Паралелно превод в пространството е трансформация в която произволна точка (х; у, Z) Фигура движи до точка (х + а у + б, Z + в), където номерата А, В, С са еднакви за всички точки (х; у, Z). Паралелно смени пространство се изчислява по формулата

експресиращи координати X ', Y', Z 'точка, в която точка (х; у; Z) с успоредни превод. Точно както в равнината следните свойства се оказа паралелен трансфер:

1. Паралелен прехвърляне на движение там.

2. Когато паралелни точки за трансфер се измества паралелно (или съвпадаща) Директна на едно и също разстояние.

3. В паралелно изместване във всяка линия става линия, паралелна към него (или да се).

4. "има само един паралелен превод, където точка А се движи към точка А," Каквото и точките А и А.

Нова паралелен трансфер в космоса е следния недвижим имот:

5. Успоредно изместване във всяка пространство или самолет се движи в себе си, или успоредно с неговата равнина.

Наистина, нека по - произволна равнина, задръжте самолета в пресичането на две прави линии а и б. В паралелни транспортни линии б и движещ се сами или в паралел прави линии а "и б." Самолет се движи в една равнина, а ', простираща се чрез директен а "и б." Ако самолетът на "не съвпада с, от теоремата на две пресичащи се линии на равнина, успоредна с съответно различни плоскост, пресичаща линии, той е успоредна на една, както се изисква.

Литература:

1. Учебник актуализира 7-11 класове. AV Pogorelov

2. Учебник актуализации 10-11. АД Александров.