диференцируемост на функции

функция у = F В (х) се нарича диференцируема в точка x0. ако има в този момент специфичен производно, т.е. ако срокът на съотношението съществува и е краен.

Ако функцията е диференцируема във всяка точка на интервала [а; Ь] или интервалът (а, Ь), да кажем, че е диференцируема на [а; Ь], съответно интервала (а, Ь).

На следващата теорема установява връзка между диференцируеми непрекъснатост.

Теорема. Ако функция у = F (х) е диференцируема в точка x0. то тогава е непрекъсната в този момент.

Доказателство. Ако. какво

където # 945; безкрайно количество, т.е. стойност клони към нула, както # 916 х → 0. но след това

По този начин, защото на функцията за диференцируемост следва приемствеността.

По този начин, точки на прекъсване на функцията не могат да бъдат получени. Обратното не е вярно: има непрекъснатост, които в някои точки не са диференцируема (т.е., не производно в тези точки).

Помислете точка А на фигурата, B, C.

В точката на достигане на # 916 х → 0 съотношение не ограничава (като едностранно граници са различни под # 916 х → 0-0 и # 916 х → 0 + 0). В точка А график не е точно допирателната, но има два различни едностранни допирателни с наклон K1 и K2. Този тип точки, наречени ъгъл точки. В буква б в # 916 х → 0 съотношение е безкрайно голяма стойност на постоянен знак. Функцията е безкраен производно. В този момент, графиката има вертикална тангента. Точка Тип - "инфлексна точка" с вертикална тангента.

В точка в едностранно производни са безкрайно големи количества различни признаци. В този момент, графикът е разтопен на две вертикални тангента. Тип - "от която няма връщане" с вертикална тангента - специален случай на точката на ъгъла.

1. Да разгледаме функцията Y = | х |. Тази функция е непрекъсната при х = 0, защото ,

Ще покажем, че той не притежава производна в този момент.

Но тогава, когато # 916 х <0 (т.е. при Δx стремящемся к 0 слева)

И когато # 916 х> 0

по този начин отношението с # 916; х → 0 в дясно и в ляво има различни ограничения, което означава, че ограничението не е свързан, т.е. производно на функция у = | х | в точката х = 0 не съществува. Геометрично, това означава, че при х = 0, тази "крива" няма определен допирателна (в този момент има две).