Диференциални уравнения в общия диференциали 1

Определение 8.4. В диференциално уравнение на формата

където

Диференциални уравнения в общия диференциали 1
Тя се нарича обикновено диференциално уравнение.

Имайте предвид, че от лявата страна на това уравнение е общата разлика на функция

Диференциални уравнения в общия диференциали 1
.

В най-общия случай, уравнение (8.4) може да се запише като

Вместо уравнение (8.5) може да се счита уравнението

Диференциални уравнения в общия диференциали 1
,

решение, което има общо интегрално уравнение (8.4). Така разтвор на уравнение (8.4) е необходимо да се намери функцията

Диференциални уравнения в общия диференциали 1
. В съответствие с дефиницията на уравнение (8.4), ние имаме

функция

Диференциални уравнения в общия диференциали 1
Ние трябва да се търси, като функция, която удовлетворява една от тези условия (8.6):

Диференциални уравнения в общия диференциали 1

където

Диференциални уравнения в общия диференциали 1
- произволна функция, независимо от
Диференциални уравнения в общия диференциали 1
.

функция

Диференциални уравнения в общия диференциали 1
Тя се определя така, че да отговаря на второто условие на (8.6)

От израза (8.7) и се определя от функцията

Диференциални уравнения в общия диференциали 1
. Заместването на експресията на
Диференциални уравнения в общия диференциали 1
и да получи интегрално уравнение общ източник.

Задача 8.3. интегриране на уравнението

Следователно, уравнението е от диференциални уравнения тип в общия разлики. функция

Диференциални уравнения в общия диференциали 1
Ние ще се търси под формата

;

;

Диференциални уравнения в общия диференциали 1
.

От друга страна,

Диференциални уравнения в общия диференциали 1
.

.

В някои случаи, при условие

Диференциални уравнения в общия диференциали 1
не може да се извърши.

Тогава тези уравнения за разглеждания тип се множат от т.нар интегриращ фактор, който по принцип е само функция

Диференциални уравнения в общия диференциали 1
или
Диференциални уравнения в общия диференциали 1
.

Ако има интегриращ фактор в уравнение, което зависи само от

Диференциални уравнения в общия диференциали 1
, се определя по формулата

Диференциални уравнения в общия диференциали 1

където съотношението на

Диференциални уравнения в общия диференциали 1
Тя трябва да бъде само функция на
Диференциални уравнения в общия диференциали 1
.

По същия начин, интегриращ фактор, който зависи само от

Диференциални уравнения в общия диференциали 1
, определя по формулата

Диференциални уравнения в общия диференциали 1

където съотношението на

Диференциални уравнения в общия диференциали 1
Тя трябва да бъде само функция на
Диференциални уравнения в общия диференциали 1
.

Липсата на горните съотношения в първата променлива например

Диференциални уравнения в общия диференциали 1
, а вторият - променлива
Диференциални уравнения в общия диференциали 1
, Това е знак за съществуването на интегриращ фактор за уравнението.

Задача 8.4. Довежда уравнението на уравнение с обща диференциал.

.

Диференциални уравнения в общия диференциали 1

.

Диференциални уравнения в общия диференциали 1

Тема 8.2. Линейни диференциални уравнения

Определение 8.5. диференциално уравнение

Диференциални уравнения в общия диференциали 1
Тя се нарича линейна, ако тя е линейна в неизвестна функция
Диференциални уравнения в общия диференциали 1
, негово производно
Диференциални уравнения в общия диференциали 1
и не съдържа желания продукт на функцията и производно.

Общата форма на линеен диференциално уравнение е представена със следната зависимост:

Ако съотношението (8.8) от дясната страна

Диференциални уравнения в общия диференциали 1
, тя се нарича линейно уравнение е хомогенна. В случай, че дясната ръка
Диференциални уравнения в общия диференциали 1
, той се нарича линейно уравнение нехомогенни.

Нека покажем, че (8.8) е интегриран в квадратури.

В първия етап считаме хомогенна линейно уравнение.

Това уравнение е уравнение с много променливи. В действителност,

Диференциални уравнения в общия диференциали 1
;

;

/

Последният връзката определя обща хомогенен разтвор на линейното уравнение.

За общото решение на нехомогенни линейното уравнение метода на вариант на производно константа. Идеята на метода е, че общото решение на нехомогенни линейното уравнение в същата форма като тази на хомогенен разтвор на съответния уравнение, но произволен постоянен

Диференциални уравнения в общия диференциали 1
Тя е заменена с функция
Диференциални уравнения в общия диференциали 1
, да бъдат определени. Така че, ние имаме:

Заместването в уравнение (8.8) изразът съответстващ

Диференциални уравнения в общия диференциали 1
и
Диференциални уравнения в общия диференциали 1
, получаваме

Диференциални уравнения в общия диференциали 1

Заместването последната експресията в (8.9), давайки общо неразделна линеен нехомогенни уравнение.

По този начин, общото решение на нехомогенни линейно уравнение, определена от две площ: общото решение на линейно уравнение хомогенна и конкретен разтвор на нехомогенни линейното уравнение.

Задача 8.5. интегриране на уравнението

Следователно, първоначалното уравнение е от типа хетерогенна линейни диференциални уравнения.

В първия етап ние намерим общо решение на линейни хомогенни уравнения.

Диференциални уравнения в общия диференциали 1

;

На втория етап се определи общото решение на нехомогенни линейно уравнение, които търсят взети под формата

Диференциални уравнения в общия диференциали 1
,

където

Диференциални уравнения в общия диференциали 1
- функция, за да бъде определена.

Заместването на

Диференциални уравнения в общия диференциали 1
и
Диференциални уравнения в общия диференциали 1
започвайки нехомогенни линейни уравнение получаваме:

;

;

Диференциални уравнения в общия диференциали 1
.

Общият разтвор на нехомогенни линейното уравнение ще бъде:

Диференциални уравнения в общия диференциали 1
.