Диференциални уравнения и математическо моделиране

Най-общо казано, всяка крива на семейството (1.17) съответства на определена стойност. Именно тази различни криви на семейството един от друг. Ние представляват проблема: създаване на диференциално уравнение на тази фамилия от криви, които ще се описва функции, общи за всички криви на това семейство.

Да предположим, че - диференцируема. Да предположим, че (1.17) определя нашата диференцируема функция на: .., т.е., функцията (1.17) отговаря на условията на теоремата на съществуване на неявна функция. След диференциране (1.17), получаваме

Ако (1.18) не стане, тогава ще бъде желания диференциално уравнение на семейство от криви.

Но с изключение на (1.17), чрез диференциация е възможно само в специални случаи. Най-общо, съотношението (1,18) съдържа. След това можете да се премахнат параметъра, създадена система от отношения (1.17) и (1.18):

.

Резултатът е диференциално уравнение

който описва свойствата общи за всички криви на семейството (1.17).

По този начин. диференциално уравнение може да се получи от формалните параметри уравнения с изключение на семейството един параметър на криви.

Припомняме, наличието на косвения функция теоремата, ако функцията е непрекъсната с първи ред частични производни в околност на точка и след това съществува съседство на точката, в която уравнението определя както един ценен функция на: със следните свойства:

1) непрекъснато с;

Пример Пример 1. Създаване на диференциално уравнение от семейството на параболи

R е т н д диференцират (1.20):.,. Ние изключат от системата:

Това е желания диференциално уравнение. Имайте предвид, че тези уравнения (1.21) и отговарят на половин линии (), не са включени в това семейство на параболи.

По същия начин, може да бъде получен диференциално уравнение на 2-ри ред, с изключение на параметрите на равнинна два параметъра фамилия криви:

Разграничаване, получаваме:

В най-общия случай (1.22), (1.23) може да се изключи или постоянен, така и чрез разграничаване отново веднъж, получаваме:

Премахване от уравнения (1.22) - (1.24) и

и замествайки (1.25) в (1.22) дава диференциално уравнение на ред 2:

Пример Пример 2. Създайте диференциално уравнение на семейство от криви:

. R е т н д Както уравнението на семейство съдържа два параметъра, а след това е диференцируема 2 пъти, като се има предвид, че:

И изключат от системата (1.27) - (1.29). От уравнение (1.28) намираме и да го замести в (1.27). получавам

Член. От уравнение (1.29), което имаме. Заместването на тази в (1.30), ние се получи желаният диференциално уравнение. Нека да превърне това уравнение: или или.

За д т т инча Желаният уравнение.

По подобен начин, диференциално уравнение на п-тия ред могат да бъдат получени чрез премахване на N-параметри от параметри семейството на криви равнина.

1.5 Геометрична интерпретация на диференциално уравнение. Метод isoclines приблизителни решения за строителството

Нека обясним геометричния смисъл на диференциално уравнение:

и като се има предвид променливите като координати и двуизмерен домейн D - домейни на функцията.

Нека разтвор на уравнение (1.31). След геометричната смисъла на производно, изчислени при (), следва, че уравнение (1.31) се определя при всяка точка на стойност D от наклона на допирателната внимание на неразделна крива, а ,. Но ако във всяка точка на област D е настроен на определена стойност, а след това се казва, че в региона D е настроен на скаларната областта на тази величина. По този начин, диференциално уравнение (1.31) определя поле посока допирателна (или поле посоки).