Диференциацията на комплексните функции

Специален случай: Z = F (х; у), където Y = Y (х), т.е. Z = F (х; у (х)) - комплекс функция на една независима променлива х. Това намалява до предишния случай, ролята на променливата т х. Според уравнение (3) трябва:

DX DZ = ∂ ∂ х Z DX DX + ∂ ∂ Ш Щ ди DX

DX DZ = ∂ ∂ х Z + ∂ ∂ Ш Щ ди DX.

Последният формула се нарича формула от общия производно.

В общия случай е: Z = F (х; у), където х = х (ф об), у = у (ф; о). След Z = F

функция на независимите променливи ф и с. Неговите частични производни

като се използва формула (3) както следва. Фиксирането срещу, сменете го

съответния частичен

По този начин, производно композитен функция (Z) за всяка независима променлива (U и V) е сумата от продукти на частните производни на тази функция (Z) в неговите междинни променливи (х и у) на производните на съответната независима променлива (U и V).

Във всички случаи, с формула DX = г г х Z DX + г г Ш Щ ди

(Общо диференциално инвариантност имот).

Пример. Виж г г ф Z и р г о Z. ако Z = F (х, у), където х = UV, у = ф о.

Решение. Прилагането на формула (4) и (5), ние получаваме: 65

г г ф Z = F "х (х. ш) о + F 'у (х. ш) 1 об. г г о Z = F "х (х у.) ф - е" у о ф 2 (х у).

Пример. Показване на тази функция Z = Ф е (х 2 + Y 2) отговаря г у г х Z - х г г Ш Щ = 0.

Решение. Ф е функция зависи от х и у чрез междинен аргумент х 2 + у = 2 т. следователно

г г х Z = DZ DT г г х Z = φ '(х 2 + Y 2) 2 х. г г Ш Щ = DZ DT г г Ш Щ = φ '(х 2 + Y 2) 2 години.

Заместването на частните производни в лявата част на уравнението, имаме:

у г г XZ - х г г YZ = Y φ '(х 2 + Y 2) 2 х - х φ' (х 2 + Y 2) 2 у = 2 XY φ '(х 2 + Y 2) - 2 XY φ '(х 2 + Y 2) = 0 т. е. Z функция

Тя отговаря на това уравнение.

Производното в тази посока и градиента на