целостта на пръстена - studopediya
пръстен клас остатък
Най-важните видове пръстени
Нека - добавката група от цели числа, и - подгрупа от цели числа, кратни на без следа.
По-рано, ние показахме, че разлагането на подгрупа определя отношението
чиито елементи са класовете остатъчни модул
т.е. оставени cosets на групата добавка на числа модул подгрупата
На снимачната площадка - от класа на остатъчни вещества по модул операциите на събиране и умножение
Тъй като тези операции се редуцира до съответните операции по брой класове остатъчни вещества, т.е. над елементите на т,
ще има комутативен пръстен с единство.
Определение. Пръстенът се нарича пръстен на остатък класове модул m.
Въвеждане на означението за определен m, операции на прибавяне и размножаване могат да бъдат написани в съкратена форма:
При запис на присъединителни и умножение операции от класа на остатъци модул може да се откаже от тирета и точки и работи с фиксирани набор от представители на класа на остатъчни вещества по модул m.
Най-често, тъй като толкова много представители на действията, - наречен намалена система от остатъци по модул m.
Да предположим, след което масата Cayley за операциите на събиране и умножение в пръстена са от вида:
клас остатък пръстен модул алгебра на играе важна роля и служи като отправна точка за множество обобщения.
Да - да бъде произволно пръстен с идентичността.
Както е показано по-горе, за всички равенства:
Това означава, че нула - 0 и устройството - различните елементи са елементи на пръстена.
Ако елемент в пръстена има обратен елемент, той е единственият, за които условието
Единична елемент пръстен е обратна на себе си:
От това следва, че елементът е обратна на себе си.
Нулевата елемент 0 на пръстена не обратен елемент, като
, за всеки елемент.
Определение. Елемент за които има пръстен, и, освен това, само един обратен елемент или подгрупа наречен обратим единица.
Ring числа е простият пример на комутативен пръстен, в който само 1 и -1 са делители единица.
Теорема. Наборът от всички делители пръстен единица е група с умножение.
Доказателство. В действителност, ако това е, са делители на единици на пръстена, тогава
Това означава, че също единица делител и следователно съдържа в комплекта. Ето защо, на снимачната площадка е група от умножение.
Определение. Групата нарича група на единица клетка разделители пръстен.
Тъй като за всеки елемент от равенството
след това по дефиниция делители пръстенни елементи, като всеки елемент е делител на нула.
В пръстен теория за произволни елементи използва следната дефиниция на нула делители.
Определение. Елементите се наричат нулеви делители ако и; в този случай се нарича ляв и - право нула делител.
Пример. 1. класове пръстен остатъчни мод м съществуват нула делители:
класове пръстен остатъчни моден 6:
класове пръстен остатъчни моден 4:
2. В пръстен квадратни матрици на за нулевите делители съществуват също:
Определение. Пръстен (и) на целостта е комутативен пръстен без нула делители.
Пример. 1. - пръстен е пръстен на целостта числа.
2. целостта на пръстен е пръстен, ако и само ако - просто число.
Помислете произволно пръстен.
Ако и това е пръстен не съдържа нула делители, тогава такъв пръстен се нарича тялото.
Определение. К. пръстен, в който съществуват всички ненулеви елементи обратен, наречен тялото.
Тялото не съдържа нулеви делители, т.е. ако - тялото, а след това, ако.
Това означава, че ненулеви елементи на тялото образуват полугрупа по отношение на умножение.
Освен това, тъй тялото се състои от един елемент и за всеки ненулев елемент в тялото на обратен елемент на елементите на тялото са ненулева от групата на умножение.
Примери. 1. Тялото на рационални числа. В действителност, ако
Важно е, че обратният елемент.
За всяко цяло число, например, обратен елемент съществува и е равна, но не принадлежи.
2. Тялото на реални числа.
3. Тялото на комплексни числа.
Звънете на целостта, с които се срещаме най-често е пръстена с числа.
Теорията на пръстени на особената роля на ринга, чиито свойства са достатъчно близо до пръстена на числа.