Билети геометрия
Посочват основните комуникационни острови успоредно проектиране с уговорката, че очакваните отсечките не са успоредни и правата линия L.
1 0 линия проекция е права линия.
2 0 дължина на проекция на сегмент.
3 0 издатини паралелни сегменти - успоредни отсечки или сегменти принадлежат.
4 0 проекции паралелни сегменти, както и proektsiiotrezkov лежат на една права линия сегменти са пропорционални на себе си.
От свързване острови 4 0 означава, че проекцията на средата е средата на интервала проекция.
Определение. Тази линия се нарича перпендикулярна на равнината, ако тя е перпендикулярна на всяка права линия лежи в равнината.
Теорема: Ако линията е перпендикулярна на две пресичащи се линии лежат в равнина, която е перпендикулярна на тази равнина.
Теорема: A права линия, прекарана в равнината на C / о база наклонена перпендикулярно на нейната издатина на равнината, перпендикулярна към себе си и наклонена
Докинг в: AH - perpend. равнина, AM - наклонена, и - с права проведе в плоска. в / о М perpend точка на proektsiiHM наклонена.
Помислете за един самолет. АМН. Директен и ^, че самолет, защото тя ^ до пресичането на две прави линии AH и МЗ. Оттук пътеката. че прави и перпендикуляра към всяка права линия, разположена в равнината на АМН, и по-специално ^ AM. QED
Теорема: Ако един от двата успоредни линии, перпендикулярни на равнината, и другата линия е перпендикулярна на тази равнина.
Докинг в: Помислете две успоредни линии А и А1 и равнината на един, така че ^ а. Ние доказваме, че a1 ^ а.
Начертайте всеки ред х в самолет а.
Тъй като ^, а след това на ^ х. Така линия А1 е перпендикулярна на всяка линия лежи в равнина, т.е. a1 ^ а. QED
Определение: две пресичащи перпендикулярни равнини, се наричат когато ъгъл m / от тях е равно на 90 0.
Теорема: Ако една от двете равнини се простира в / о линия, перпендикулярна на друга.
равнина, тези равнини са перпендикулярни.
Докинг на: Помислете за един самолет и б са такива, че самолет преминава в / о AB линия, перпендикулярна на равнината б и пресичащи се в точка А. Ние показваме, че ^ б. Самолет на А и Б се пресичат в една права линия, AC и AB ^ AC, защото за реал. AB ^ б, и по този начин линията AB ^ всяка права линия лежи в равнина, б.
Начертайте права линия в равнината б АД, както ^. след това ÐBAD - линеен двустенен ъгъл, образуван в пресечната точка на равнини А и В. но ÐBAD = 90 0 (от AB ^ б). Следваща, но ъгъл м / у равнините А и В е равен на 0. 90 т.е. а ^ б. QED
Sbok = P * А (-. Страничен ръб периметър P)
Теорема: Ако две линии са перпендикулярни на равнината, тогава те са успоредни.
Докинг в: Помислете линиите и А и Б. перпендикулярна равнина. Ние доказваме, че ½½b.
Чрез всяка точка M начертаете линия направо б b1. успоредна на линията А. Докажете, че линията съвпада с линията b1 б. По този начин е доказано, че a½½ б. Да предположим, че линиите б и b1 не са едни и същи. След това в самолет B, B, съдържащи пряка и b1. в / о точка М са две прави линии, перпендикулярни на линия С права, които се пресичат в една равнина и б. Но това не е възможно, пътеката-но, a½½ б. QED
Определение: разстояние M / S от един кос линии и равнината С / о друга линия, успоредна на първата, наречен разстояние м / г кос линии.
Определение: Ако страничните ръбове на призмата са перпендикулярни на базите, призмата се нарича директен друго наклонена.
Теорема: Районът на право призма странична повърхност е равна на произведението от периметъра на основата на височината на призмата.
Докинг в: Bok.grani десен призма - правоъгълници, чиито бази - една страна на основата призма и височина, равна на височината Н призмата. В областта на страничната повърхност на призмата е равна на сумата от площите на споменатите правоъгълници, т.е. равна на сумата от произведенията на страните на база височина з. Въвеждане фактор часа на конзолите, скобите се сума страни на основата на призмата, т.е. своя периметър P. Така Sbok = P * часа. QED
Да разгледаме две равни успоредник ABCD и А1 В1 С1 D1. разположени в равнини, така че сегментите АА1, ВВ1, СС1. DD1 и паралелно.
Повърхността състои от две еднакви паралелограми ABCD и А1 В1 С1 D1 и четири паралелограми наречени паралелепипед m означава ABCDA1. D1.
Parallelograms, които се състоят от една кутия, наречени лица. своя страна - ребра. и върховете на успоредник - горната кутия.
Теорема: Диагоналите на паралелепипеда се пресичат в една точка и тази точка разделен на две.
Докинг на: Помислете четиристранни A1 D1 CB, чиито диагонали са диагонали на паралелепипед ABCDA1. D1. защото A1 D1 ½½ BC и
A1 D1 = BC, тогава A1 D1 CB - успоредник. Следователно А1 С и D1 В диагонали се пресичат в някакъв момент О и този момент са бисектни.
Теорема: противоположни страни на паралелепипеда са успоредни и равни.
Докинг в: Ние доказваме, е изправен пред ABB1 А1 и DCC1 D паралелепипед АВСА1. D1. защото ABCD и ADD1 А1 - паралелограми, след AB½½DC и АА1 ½½DD1. Така Пр. две пресичащи се линии АВ и АА1 едната страна съответно успоредни на двете линии CD и DD1 друг лицето. Следователно, въз основа на паралелния апартамента. От това следва, че лицата ABB1 А1 и DCC1 D1 паралелно.
Ние доказваме, тези лица. защото цялото лице на кутията - успоредник, тогава AB = DC и AA1 = DD1. По същата причина ъглите и страните на А1 AB D1 DC, съответно, имат една и съща посока, и следователно тези ъгли са равни. Така Пр. две съседни страни и Ð т / г два ma Паралелно ABB1 А1 съответно. равно на две съседни страни имат Ð m / ги от пара-ма DCC1 D1. така че те са успоредник
Определение: кутия, наречена правоъгълна. ако неговите странични ръбове, перпендикулярна на основата, и основата е правоъгълник.
Теорема: квадрата на диагонала на правоъгълен паралелепипед е равна на сумата от квадратите на трите измерения.
Докинг от: Ние ще се окаже, че АС1 2 = AB 2 + AD 2 + АА1 2 Тъй като СС1 ръб перпендикулярна на база ABCD, тогава ÐACC1 алкилни групи с права.
ACC1 на правоъгълен триъгълник с помощта на Питагоровата теорема получаваме AC1 2 = AC 2 + 2 CC1.
Но AC е диагонала на ABCD на правоъгълник, така че AC = AB 2 2 + АД 2. Освен това, СС1 = AA1.
Следваща АС1 бут-2 = AB + AD 2 2 2 + АА1 QED
Да разгледаме многоъгълник А1 А2. Един и точка Р не лежи в равнината на многоъгълника. Комбинирането на точка P със сегментите на върховете на многоъгълника, ние получаваме н триъгълници: PA1 А2, А3 PA2. PAN А1.
Polyhedron направен от п-гон А1 А2. Един и п триъгълници, наречена пирамида
Многоъгълник А1 А2. Един се нарича основа. и триъгълници - страничните ръбове на пирамидата. точка Р се нарича връх на пирамидата и РА1 на сегменти. PA2. Пан - страничните ръбове.
Теорема: равнина, успоредна на основата на пирамидата и пресичащи го пресича като пирамида.
Докинг на: S-пирамида връх А - versh.osnovaniya и А 1 - точка на пресичане на равнината на рязане с страничните ребра. SA. Подлага се пирамида хомотетно трансформация по отношение на коефициента на връх S. хомотетия. к = 1 SA / SA
В този плосък бъде базови протича успоредно. Това е плосък разширяване в / о точка А 1. т.е. в рязане равнина и следа-но цялата пирамида - е отрязан в тази равнина част. защото хомотетия. има сходство, отделението. yavl на пирамидите. по този начин. QED
Теорема: Площ дясната повърхност на пирамидата е равен на половината от произведението на периметъра на основата на apofemu.
Докинг на: Страничните лицата на pravidnoy на пирамида - равни равнобедрен триъгълник, на базата на които - основната част на пирамидата, както и равен Апотема височина. В областта на страничната повърхност S е равна на сумата от продуктите на база страна пирамида половината Апотема г. Въвеждане фактор 1/2 * г оградена в скоби се получи сума страни на основата на пирамидата, т.е. периметъра си. QED
Теорема: обем призма е продукт на квадратен основата и височината.
Док: 1) Да разгледаме treug линия. АВСА1 В1 С1 призма с обем V и височина часа. Начертайте височина триъгълник ABC otrez.BD, която разделя този treug. две treug.
Самолет BB1 D акция тази призма на две награди. който yavl бази. правоъгълна treug. ABD и BDC. Следователно, обемите V1 и V2 са съответно на призми
2) Ние докаже теоремата за произволна призма с височина часа и пространство. базовата S. Това призмата може да бъде разделена директно treug. призма височина часа.
Ние изразяваме обема на всяка награда. от формула (1) и се добавя тези обеми. Въвеждане скоби з мултипликатор за получаване на сумата от площите конзоли основи на триъгълна призма, т.е. областта S на оригиналния основата на призмата. По този начин, обхватът на призмата е Sh. QED
За страничната повърхност на цилиндър приемната зона на своя размах на на.
Тъй като на правоъгълника ABB 1 А 1 е АА 1 * AB = 2prh, след изчисляване на площта страна на радиус цилиндър г и височина Н се получава Sbok формула = 2prh
Така областта на страничната повърхност на цилиндъра е равна на произведението от дължината на основния кръг на височината на цилиндъра.
Теорема: Обемът на конуса е равен на една трета зона на основния продукт на височината.
Докинг в: Помислете конуса на обема V. произволно. Cone сечение равнина, перпендикулярна на оста ОХ е окръжност с център в t.M1 пресичане на тази равнина с оста Ox.
Нека радиуса на този кръг в / о R1. на сечение от Н / С (х), където Х абсциса точка M1. От правоъгълен триъгълник сходство OM1 А1 и ОМА следва, че OM1 / ОМ = R1 / R или X / ч = R1 / R, където R1 = XR / ч.
Тъй като S (х) = PR1 2. тогава S (х) = PR 2 х 2 / ч 2.
Прилагането на основната формула за изчисляване на обема на телата ни да получат:
Следователно областта S основа на конуса е PR 2.